# Exercícios de integração por substituição, com respostas

> 12 exercícios de integração por substituição com respostas e resolução passo a passo, de (x²+1)⁵ a ln x / x, com volta à variável e integrais definidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integracao-por-substituicao
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \quad u = g(x) $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa
- **Nível:** Cálculo 1, Cálculo 2 e AP Calculus AB, Unidade 6
- **Você precisa saber:** Antiderivadas básicas e a [regra da cadeia](/rules/chain-rule)
- **Ideia principal:** Escolha a função interna como $u$, troque $g'(x)\,dx$ por $du$ e integre em $u$
- **Pratique com novos números:** [Lição de integração por substituição](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution)

## Pontos principais

- Escolha $u$ como a parte de dentro de uma função composta cuja derivada também aparece, a menos de uma constante.
- Todo $x$ precisa sumir depois da substituição. Se sobrar algum, isole $x$ em $u = g(x)$ e substitua.
- Numa integral definida, troque os limites para valores de $u$ e você nunca precisa desfazer a substituição.

Estes **exercícios de integração por substituição** começam com funções internas fáceis de ver e avançam para logaritmos, volta à variável original e integrais definidas com novos limites. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

O método:

$$\int f(g(x))\,g'(x)\,dx = \int f(u)\,du, \qquad u = g(x),\ du = g'(x)\,dx$$

Faça $u$ igual à função interna, encontre $du$, substitua tudo, integre e depois volte para $x$. Para revisar, leia a [regra da integração por substituição](/rules/u-substitution-rule).

## Exercícios

**A derivada já está ali**

1. $\displaystyle\int 2x(x^2 + 1)^5\,dx$
2. $\displaystyle\int \cos(3x)\,dx$
3. $\displaystyle\int x\,e^{x^2}\,dx$
4. $\displaystyle\int x^2\sqrt{x^3 + 1}\,dx$

**Logaritmos e trigonometria**

5. $\displaystyle\int \frac{\ln x}{x}\,dx$
6. $\displaystyle\int \tan x\,dx$
7. $\displaystyle\int \sin x\cos^4 x\,dx$
8. $\displaystyle\int \frac{e^x}{1 + e^x}\,dx$
9. $\displaystyle\int \frac{1}{x\ln x}\,dx$

**Voltando à variável**

10. $\displaystyle\int x\sqrt{x + 1}\,dx$

**Integrais definidas**

11. $\displaystyle\int_0^2 x(x^2 + 1)^3\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,e^{\sin x}\,dx$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{(x^2 + 1)^6}{6} + C$ |
| 2 | $\dfrac{\sin(3x)}{3} + C$ |
| 3 | $\dfrac{1}{2}e^{x^2} + C$ |
| 4 | $\dfrac{2}{9}(x^3 + 1)^{3/2} + C$ |
| 5 | $\dfrac{(\ln x)^2}{2} + C$ |
| 6 | $-\ln\lvert\cos x\rvert + C$ |
| 7 | $-\dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ |
| 8 | $\ln(1 + e^x) + C$ |
| 9 | $\ln\lvert\ln x\rvert + C$ |
| 10 | $\dfrac{2}{5}(x+1)^{5/2} - \dfrac{2}{3}(x+1)^{3/2} + C$ |
| 11 | $78$ |
| 12 | $e - 1$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Seja $u = x^2 + 1$, então $du = 2x\,dx$. É exatamente o que está na frente:

$$\int u^5\,du = \frac{u^6}{6} + C = \frac{(x^2+1)^6}{6} + C$$

**2.** Seja $u = 3x$, então $du = 3\,dx$ e $dx = \frac{1}{3}du$:

$$\frac{1}{3}\int\cos u\,du = \frac{\sin(3x)}{3} + C$$

**3.** Seja $u = x^2$, então $du = 2x\,dx$ e $x\,dx = \frac{1}{2}du$:

$$\frac{1}{2}\int e^u\,du = \frac{1}{2}e^{x^2} + C$$

**4.** Seja $u = x^3 + 1$, então $du = 3x^2\,dx$ e $x^2\,dx = \frac{1}{3}du$:

$$\frac{1}{3}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3+1)^{3/2} + C$$

**5.** Seja $u = \ln x$, então $du = \frac{1}{x}dx$:

$$\int u\,du = \frac{u^2}{2} + C = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$$

**6.** Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Seja $u = \cos x$, então $du = -\sin x\,dx$:

$$-\int\frac{1}{u}\,du = -\ln|\cos x| + C$$

Isso é o mesmo que $\ln|\sec x| + C$. Veja a [integral de tg x](/integrals/tan-x).

**7.** Seja $u = \cos x$, então $\sin x\,dx = -du$:

$$-\int u^4\,du = -\frac{u^5}{5} + C = -\frac{\cos^5 x}{5} + C$$

**8.** Seja $u = 1 + e^x$, então $du = e^x\,dx$. Como $1 + e^x > 0$, não é preciso módulo:

$$\int\frac{1}{u}\,du = \ln(1 + e^x) + C$$

**9.** Seja $u = \ln x$, então $du = \frac{1}{x}dx$. A integral vira $\int\frac{1}{u}\,du$:

$$\ln|\ln x| + C$$

**10.** Seja $u = x + 1$, então $du = dx$. Ainda sobra um $x$, então isole-o: $x = u - 1$. Assim:

$$\int (u - 1)u^{1/2}\,du = \int\left(u^{3/2} - u^{1/2}\right)du = \frac{2}{5}u^{5/2} - \frac{2}{3}u^{3/2} + C$$

Volte com $u = x + 1$ para obter a resposta da tabela.

**11.** Seja $u = x^2 + 1$, então $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Troque os limites: $x = 0$ dá $u = 1$ e $x = 2$ dá $u = 5$:

$$\frac{1}{2}\int_1^5 u^3\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{5^4 - 1^4}{4} = \frac{624}{8} = 78$$

**12.** Seja $u = \sin x$, então $du = \cos x\,dx$. Os limites viram $u = 0$ e $u = 1$:

$$\int_0^1 e^u\,du = e - 1$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Deixar $dx$ na integral.** Depois da substituição, tudo precisa estar em termos de $u$ e $du$. Um $dx$ sobrando indica que falta um passo.
- **Dividir por uma variável.** Em $\int e^{x^2}\,dx$ não há fator $x$, então $u = x^2$ não funciona. Dá para corrigir constantes, não variáveis.
- **Manter os limites antigos.** No exercício 11, integrar $u^3$ de $0$ a $2$ dá a resposta errada. Troque os limites ou volte para $x$ antes.
- **Esquecer de voltar para a variável original.** Uma resposta indefinida precisa estar em termos de $x$.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com números novos e correção imediata, faça a [lição de integração por substituição](/learn/calculus-1/integrals/u-substitution) e a [revisão de Cálculo 2](/learn/calculus-2/integration-techniques/u-substitution-refresher). Para mais exemplos resolvidos, leia o [guia de integração por substituição](/blog/u-substitution). Quando a substituição deixar de funcionar com produtos, siga para os [exercícios de integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts).

## Perguntas frequentes

### Como escolher o u na integração por substituição?

Procure uma função dentro de outra, como o $x^2 + 1$ em $(x^2+1)^5$, cuja derivada também aparece como fator. Faltar uma constante não tem problema, porque dá para dividir por ela. Se a escolha deixar termos em $x$ que você não consegue substituir, tente outro $u$.

### E se a derivada de u estiver errada por uma constante?

Divida pela constante. Em $\int x\,e^{x^2}\,dx$, $du = 2x\,dx$, então $x\,dx = \frac{1}{2}du$. Só dá para corrigir constantes desse jeito, não variáveis que faltam.

### A integração por substituição é o inverso da regra da cadeia?

Sim. A regra da cadeia dá $\frac{d}{dx}F(g(x)) = F'(g(x))g'(x)$, então integrar $F'(g(x))g'(x)$ devolve $F(g(x)) + C$. Toda resposta obtida por substituição pode ser conferida derivando com a regra da cadeia.