# Exercícios de integrais duplas resolvidos, com respostas > 12 exercícios de integrais duplas com respostas: integrais iteradas, regiões gerais, inversão da ordem, coordenadas polares, volume e valor médio. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integrais-duplas Atualizado: 2026-11-06 $$ \iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\,dx $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 3 - **Pré-requisitos:** [Integrais definidas](/practice-problems/definite-integrals) e [substituição](/practice-problems/u-substitution) - **Ideia principal:** Integre primeiro a variável de dentro, tratando a variável de fora como constante, e depois integre de novo - **Pratique com novos números:** [Lição de integrais iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals) ## Pontos principais - Trabalhe de dentro para fora. Os limites de dentro podem depender da variável de fora, mas os limites de fora precisam ser números. - Se a integral de dentro não tem antiderivada elementar, esboce a região e inverta a ordem. - Para discos e círculos, passe para coordenadas polares e lembre que $dA = r\,dr\,d\theta$. Estes **exercícios de integrais duplas** começam com retângulos e avançam para regiões gerais, inversão da ordem de integração, coordenadas polares, volume e valor médio. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. A montagem para uma região entre duas curvas: $$\iint_R f(x, y)\,dA = \int_a^b\left(\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x, y)\,dy\right)dx$$ Calcule primeiro a integral de dentro, tratando $x$ como constante. Para saber mais sobre regiões e ordem de integração, leia o [guia de integrais duplas](/blog/double-integrals). ## Exercícios **Retângulos** 1. $\displaystyle\int_0^2\!\int_0^1(x + y)\,dy\,dx$ 2. $\displaystyle\iint_R 6xy^2\,dA$, $R = [0, 2]\times[0, 1]$ 3. $\displaystyle\int_0^{\pi}\!\int_0^1 y\sin x\,dy\,dx$ **Regiões gerais** 4. $\displaystyle\int_0^1\!\int_0^x xy\,dy\,dx$ 5. $\displaystyle\iint_R x\,dA$, em que $R$ é a região entre $y = x^2$ e $y = x$ 6. Encontre a área entre $y = x^2$ e $y = 4$ com uma integral dupla. **Inverta a ordem** 7. $\displaystyle\int_0^1\!\int_y^1 e^{x^2}\,dx\,dy$ 8. $\displaystyle\int_0^1\!\int_x^1\sin(y^2)\,dy\,dx$ **Coordenadas polares** 9. $\displaystyle\iint_D(x^2 + y^2)\,dA$, $D$ o disco unitário 10. $\displaystyle\iint_D e^{-(x^2 + y^2)}\,dA$, $D$ o disco $x^2 + y^2 \le 4$ 11. Encontre o volume sob $z = 4 - x^2 - y^2$ e acima do plano $xy$. **Valor médio** 12. Encontre o valor médio de $f(x, y) = xy$ no quadrado $[0, 2]\times[0, 2]$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $3$ | | 2 | $4$ | | 3 | $1$ | | 4 | $\frac{1}{8}$ | | 5 | $\frac{1}{12}$ | | 6 | $\frac{32}{3}$ | | 7 | $\frac{e - 1}{2} \approx 0.859$ | | 8 | $\frac{1 - \cos 1}{2} \approx 0.230$ | | 9 | $\frac{\pi}{2}$ | | 10 | $\pi\left(1 - e^{-4}\right) \approx 3.084$ | | 11 | $8\pi$ | | 12 | $1$ | ## Resolução passo a passo **1.** Dentro: $\int_0^1(x + y)\,dy = x + \frac{1}{2}$. Fora: $$\int_0^2\left(x + \frac{1}{2}\right)dx = 2 + 1 = 3$$ **2.** Em um retângulo, um produto $g(x)h(y)$ se separa em duas integrais simples: $$\int_0^2 6x\,dx\cdot\int_0^1 y^2\,dy = 12\cdot\frac{1}{3} = 4$$ **3.** Separe de novo: $\int_0^{\pi}\sin x\,dx\cdot\int_0^1 y\,dy = 2\cdot\frac{1}{2} = 1$. **4.** Dentro: $\int_0^x xy\,dy = x\cdot\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$. Fora: $\int_0^1\frac{x^3}{2}\,dx = \frac{1}{8}$. **5.** As curvas se encontram em $x = 0$ e $x = 1$, com $y = x$ em cima: $$\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}x\,dy\,dx = \int_0^1 x(x - x^2)\,dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$$ **6.** Com $f = 1$, a integral dupla é a área: $$\int_{-2}^{2}\!\int_{x^2}^{4}1\,dy\,dx = \int_{-2}^{2}(4 - x^2)\,dx = \frac{32}{3}$$ **7.** $e^{x^2}$ não tem antiderivada elementar, então inverta a ordem. A região é $0 \le y \le x \le 1$, um triângulo. Na outra ordem, $x$ vai de $0$ a $1$ e $y$ de $0$ a $x$: $$\int_0^1\!\int_0^x e^{x^2}\,dy\,dx = \int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx = \frac{e - 1}{2}$$ **8.** A região é $0 \le x \le y \le 1$. Inverta para que $y$ fique por fora: $$\int_0^1\!\int_0^y\sin(y^2)\,dx\,dy = \int_0^1 y\sin(y^2)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^2)}{2}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{2}$$ **9.** Em coordenadas polares, $x^2 + y^2 = r^2$ e $dA = r\,dr\,d\theta$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^1 r^2\cdot r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{2}$$ **10.** Com $u = r^2$: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2 e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = 2\pi\cdot\frac{1}{2}\left(1 - e^{-4}\right) = \pi\left(1 - e^{-4}\right)$$ **11.** A superfície encontra o plano onde $r = 2$. Em coordenadas polares: $$\int_0^{2\pi}\!\int_0^2(4 - r^2)\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\left[2r^2 - \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi(8 - 4) = 8\pi$$ **12.** $\iint xy\,dA = \int_0^2 x\,dx\cdot\int_0^2 y\,dy = 2\cdot 2 = 4$. A área do quadrado é $4$, então o valor médio é $\frac{4}{4} = 1$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Limites de fora com variáveis.** Depois das duas integrais, a resposta precisa ser um número. Se sobrar um $x$, os limites estão na ordem errada. - **Inverter a ordem sem redesenhar a região.** No exercício 7, trocar os sinais de integral e manter os limites está errado. Esboce a região e leia os novos limites a partir dela. - **Esquecer o $r$ em coordenadas polares.** O exercício 9 sem o $r$ extra dá $\frac{2\pi}{3}$ em vez de $\frac{\pi}{2}$. - **Tratar a variável de fora como se variasse.** Na integral de dentro do exercício 4, $x$ é constante, então $\int_0^x xy\,dy = \frac{x^3}{2}$. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a [lição de integrais iteradas](/learn/calculus-3/multiple-integrals/iterated-integrals), a [lição de inversão da ordem](/learn/calculus-3/multiple-integrals/switching-the-order), a [lição de regiões gerais](/learn/calculus-3/multiple-integrals/general-regions) e a [lição de integrais duplas em coordenadas polares](/learn/calculus-3/multiple-integrals/polar-double-integrals). ## Perguntas frequentes ### Como saber em que ordem integrar? Em um retângulo com funções simples, qualquer ordem serve. Em outras regiões, escolha a ordem que dá limites mais simples, ou aquela em que a integral de dentro pode de fato ser calculada. Os exercícios 7 e 8 só saem depois de inverter a ordem. ### Por que aparece um r a mais nas integrais duplas em coordenadas polares? Uma pequena região polar é quase um retângulo de lados $dr$ e $r\,d\theta$, então a sua área é $r\,dr\,d\theta$. Esquecer o $r$ é o erro mais comum com coordenadas polares. ### O que uma integral dupla representa? Se $f \ge 0$, ela é o volume sob a superfície $z = f(x, y)$ acima da região. Com $f = 1$, ela é a área da região. Dividida pela área, ela é o valor médio de $f$.