# Exercícios de integrais impróprias resolvidos, com respostas > 12 exercícios de integrais impróprias com respostas: limites infinitos, assíntotas verticais, convergência ou divergência e o critério da comparação. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integrais-improprias Atualizado: 2026-11-06 $$ \int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, Unidade 6 - **Pré-requisitos:** [Integrais definidas](/practice-problems/definite-integrals), limites no infinito e [integração por partes](/practice-problems/integration-by-parts) - **Ideia principal:** Troque a extremidade problemática por uma variável, integre e depois tome o limite - **Pratique com novos números:** [Lição de limites de integração infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) ## Pontos principais - Uma integral é imprópria se um limite de integração é infinito ou se o integrando explode em algum ponto de $[a, b]$, inclusive dentro do intervalo. - $\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}\,dx$ converge quando $p > 1$; $\int_0^{1}\frac{1}{x^p}\,dx$ converge quando $p < 1$. - Use a comparação quando não conseguir integrar: menor que uma integral convergente converge, maior que uma divergente diverge. Estes **exercícios de integrais impróprias** cobrem limites de integração infinitos, assíntotas verticais em uma extremidade e dentro do intervalo, e o critério da comparação. Em cada um, decida se a integral converge e, se convergir, encontre o seu valor. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. A definição para um limite infinito: $$\int_a^{\infty} f(x)\,dx = \lim_{b\to\infty}\int_a^{b} f(x)\,dx$$ Para uma assíntota em $x = a$, use $\lim_{t\to a^+}\int_t^{b} f(x)\,dx$. Para mais exemplos, leia o [guia de integrais impróprias](/blog/improper-integrals). ## Exercícios **Limites infinitos** 1. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2}\,dx$ 2. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx$ 3. $\displaystyle\int_1^{\infty}x^{-3/2}\,dx$ 4. $\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-2x}\,dx$ 5. $\displaystyle\int_0^{\infty}x\,e^{-x}\,dx$ 6. $\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$ **Assíntotas verticais** 7. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ 8. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{x}\,dx$ 9. $\displaystyle\int_0^{1}\ln x\,dx$ 10. $\displaystyle\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ 11. $\displaystyle\int_0^{3}\frac{1}{(x - 1)^{2/3}}\,dx$ **Comparação** 12. $\displaystyle\int_1^{\infty}\frac{2 + \cos x}{x^2}\,dx$ converge? ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | Converge para $1$ | | 2 | Diverge | | 3 | Converge para $2$ | | 4 | Converge para $\frac{1}{2}$ | | 5 | Converge para $1$ | | 6 | Converge para $\pi$ | | 7 | Converge para $2$ | | 8 | Diverge | | 9 | Converge para $-1$ | | 10 | Diverge | | 11 | Converge para $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$ | | 12 | Converge, por comparação com $\frac{3}{x^2}$ | ## Resolução passo a passo **1.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$ **2.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\big[\ln x\big]_1^{b} = \lim_{b\to\infty}\ln b = \infty$, então diverge. **3.** Uma antiderivada de $x^{-3/2}$ é $-2x^{-1/2}$: $$\lim_{b\to\infty}\left(2 - \frac{2}{\sqrt{b}}\right) = 2$$ É uma integral do tipo $p$ com $p = \frac{3}{2} > 1$, então a convergência já era esperada. **4.** $\displaystyle\lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_0^{b} = \lim_{b\to\infty}\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}e^{-2b}\right) = \frac{1}{2}$ **5.** Por partes, $\int x\,e^{-x}\,dx = -(x + 1)e^{-x}$. Então: $$\lim_{b\to\infty}\left(1 - (b + 1)e^{-b}\right) = 1$$ O termo $(b + 1)e^{-b} \to 0$ porque a exponencial cresce muito mais rápido que $b + 1$ (use a regra de L'Hôpital se quiser conferir). **6.** Divida em $0$. Cada metade é $\lim\arctan b = \frac{\pi}{2}$, então o total é $\pi$. As duas metades precisam convergir para que a integral inteira convirja. **7.** O integrando explode em $x = 0$: $$\lim_{t\to 0^+}\big[2\sqrt{x}\big]_t^{1} = 2 - 0 = 2$$ **8.** $\displaystyle\lim_{t\to 0^+}\big(\ln 1 - \ln t\big) = \lim_{t\to 0^+}(-\ln t) = \infty$, então diverge. **9.** Uma antiderivada é $x\ln x - x$. Em $x = 1$ ela vale $-1$. Quando $t \to 0^+$, $t\ln t \to 0$, então: $$-1 - \lim_{t\to 0^+}(t\ln t - t) = -1 - 0 = -1$$ **10.** A assíntota em $x = 0$ está dentro do intervalo, então divida nesse ponto. A metade da direita é $\lim_{t\to 0^+}\left(\frac{1}{t} - 1\right) = \infty$, então a integral inteira diverge. A resposta tentadora $\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -2$ é impossível, já que o integrando é positivo. **11.** A assíntota está em $x = 1$, dentro de $[0, 3]$. Uma antiderivada é $3(x - 1)^{1/3}$, que é contínua em $x = 1$: $$\int_0^1 = 3(0) - 3(-1) = 3, \qquad \int_1^3 = 3\sqrt[3]{2} - 0 = 3\sqrt[3]{2}$$ As duas metades convergem, então o total é $3 + 3\sqrt[3]{2} \approx 6.78$. **12.** Como $-1 \le \cos x \le 1$, o integrando fica entre $\frac{1}{x^2}$ e $\frac{3}{x^2}$. E $\int_1^{\infty}\frac{3}{x^2}\,dx = 3$ converge. Uma função positiva abaixo de uma convergente também converge. ## Erros comuns nestes exercícios - **Não ver uma assíntota dentro do intervalo.** Os exercícios 10 e 11 parecem integrais definidas comuns. Sempre verifique onde o integrando não está definido. - **Tratar $\infty$ como um número.** Escreva o limite. Expressões como $\frac{1}{\infty}$ escondem erros. - **Comparar na direção errada.** Ser menor que uma integral divergente não prova nada. Ser maior que uma convergente também não. - **Verificar só um lado.** No exercício 6, as duas metades precisam convergir separadamente. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a [lição de limites infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration), a [lição de descontinuidades infinitas](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-discontinuities) e a [lição do critério da comparação](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/comparison-test). A mesma regra do $p$ volta nas séries, nos [exercícios de testes de convergência](/practice-problems/convergence-tests). ## Perguntas frequentes ### Como saber se uma integral imprópria converge? Reescreva-a como um limite e calcule. Se o limite for um número finito, ela converge para esse número. Se o limite for infinito ou não existir, ela diverge. Quando não for possível integrar diretamente, compare com uma integral do tipo $p$. ### Por que a integral de 1/x de 1 a infinito diverge? A antiderivada é $\ln x$, e $\ln b \to \infty$ quando $b \to \infty$. A área continua crescendo sem limite, embora a curva se aproxime do eixo $x$. O exercício 2 mostra isso. ### Por que a integral de 1/x² de -1 a 1 não é -2? Porque $\frac{1}{x^2}$ explode em $x = 0$, dentro do intervalo. É preciso dividir em $0$, e cada metade diverge. Substituir as extremidades diretamente ignora a assíntota. O exercício 10 mostra isso.