# Exercícios de integrais trigonométricas resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de integrais trigonométricas com respostas: potências de seno e cosseno, tangente e secante, arco metade e transformação de produto em soma.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integrais-trigonometricas
Atualizado: 2026-11-06

$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa
- **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC
- **Você precisa saber:** [Integração por substituição](/practice-problems/u-substitution) e as identidades pitagóricas
- **Ideia principal:** Potência ímpar: guarde um fator para o $du$. Potências pares: use as fórmulas do arco metade
- **Pratique com novos números:** [Lição de integrais trigonométricas](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals)

## Pontos principais

- Se o seno ou o cosseno tem potência ímpar, guarde um fator para o $du$ e transforme o resto na outra função com $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$.
- Se as duas potências são pares, reduza-as com as fórmulas do arco metade.
- Para $\sec^n x$ com $n$ par, guarde $\sec^2 x$ para o $du$ com $u = \tan x$. Para potências ímpares de $\tan x$ vezes $\sec x$, guarde $\sec x\tan x$ com $u = \sec x$.

Estes **exercícios de integrais trigonométricas** cobrem potências de seno e cosseno, tangente e secante e produtos com arcos diferentes. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

As identidades que você vai usar:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1, \qquad 1 + \tan^2 x = \sec^2 x$$

$$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}, \qquad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

## Exercícios

**Potências pares: arco metade**

1. $\displaystyle\int\sin^2 x\,dx$
2. $\displaystyle\int\cos^2 x\,dx$
3. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos^2 x\,dx$

**Potências ímpares: guarde um fator**

4. $\displaystyle\int\sin^2 x\cos x\,dx$
5. $\displaystyle\int\cos^3 x\,dx$
6. $\displaystyle\int\sin^3 x\,dx$
7. $\displaystyle\int\sin^3 x\cos^2 x\,dx$

**Tangente e secante**

8. $\displaystyle\int\tan^2 x\,dx$
9. $\displaystyle\int\sec^4 x\,dx$
10. $\displaystyle\int\tan^3 x\sec x\,dx$

**Arcos diferentes e integrais definidas**

11. $\displaystyle\int\sin(3x)\cos x\,dx$
12. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin^2 x\,dx$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| 2 | $\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin 2x}{4} + C$ |
| 3 | $\dfrac{x}{8} - \dfrac{\sin 4x}{32} + C$ |
| 4 | $\dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ |
| 5 | $\sin x - \dfrac{\sin^3 x}{3} + C$ |
| 6 | $-\cos x + \dfrac{\cos^3 x}{3} + C$ |
| 7 | $-\dfrac{\cos^3 x}{3} + \dfrac{\cos^5 x}{5} + C$ |
| 8 | $\tan x - x + C$ |
| 9 | $\tan x + \dfrac{\tan^3 x}{3} + C$ |
| 10 | $\dfrac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$ |
| 11 | $-\dfrac{\cos 4x}{8} - \dfrac{\cos 2x}{4} + C$ |
| 12 | $\dfrac{\pi}{2}$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Use a fórmula do arco metade:

$$\int\frac{1 - \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$$

Veja a [integral de sen² x](/integrals/sin-squared-x) para mais detalhes.

**2.** A mesma ideia, com sinal de mais:

$$\int\frac{1 + \cos 2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} + C$$

**3.** Use $\sin x\cos x = \frac{1}{2}\sin 2x$, então $\sin^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$. Depois aplique a fórmula do arco metade com arco $2x$:

$$\frac{1}{4}\int\frac{1 - \cos 4x}{2}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin 4x}{32} + C$$

**4.** Seja $u = \sin x$, então $du = \cos x\,dx$:

$$\int u^2\,du = \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

**5.** Guarde um $\cos x$ e escreva $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$. Com $u = \sin x$:

$$\int(1 - u^2)\,du = \sin x - \frac{\sin^3 x}{3} + C$$

**6.** Guarde um $\sin x$ e escreva $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$. Com $u = \cos x$, $du = -\sin x\,dx$:

$$-\int(1 - u^2)\,du = -\cos x + \frac{\cos^3 x}{3} + C$$

**7.** O seno tem a potência ímpar, então guarde um $\sin x$: $\sin^3 x\cos^2 x = (1 - \cos^2 x)\cos^2 x\sin x$. Com $u = \cos x$:

$$-\int(u^2 - u^4)\,du = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C$$

**8.** Use $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$:

$$\int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**9.** Guarde $\sec^2 x$ para o $du$ e escreva o outro $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$. Com $u = \tan x$:

$$\int(1 + u^2)\,du = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C$$

**10.** Guarde $\sec x\tan x$ para o $du$ com $u = \sec x$. O que sobra é $\tan^2 x = \sec^2 x - 1 = u^2 - 1$:

$$\int(u^2 - 1)\,du = \frac{\sec^3 x}{3} - \sec x + C$$

**11.** Use a fórmula de transformação de produto em soma $\sin A\cos B = \frac{1}{2}\big[\sin(A + B) + \sin(A - B)\big]$:

$$\frac{1}{2}\int(\sin 4x + \sin 2x)\,dx = -\frac{\cos 4x}{8} - \frac{\cos 2x}{4} + C$$

**12.** Pelo exercício 1:

$$\left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\pi} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

Faz sentido: em $[0, \pi]$, a média de $\sin^2 x$ é $\frac{1}{2}$, e $\frac{1}{2}\cdot\pi = \frac{\pi}{2}$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Usar substituição numa potência par.** $\int\sin^2 x\,dx$ não é $\frac{\sin^3 x}{3}$. Não há fator $\cos x$ para formar o $du$.
- **Trocar os sinais do arco metade.** $\sin^2$ fica com o sinal de menos e $\cos^2$ com o de mais. Confira com $x = 0$: $\sin^2 0 = 0 = \frac{1 - 1}{2}$.
- **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\int\cos 2x\,dx = \frac{\sin 2x}{2}$, e não $\sin 2x$.
- **Não guardar um fator.** No exercício 6, os três senos precisam ser usados: um para o $du$ e dois convertidos em cosseno.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a [lição de integrais trigonométricas](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-integrals). Veja também a [integral de tg² x](/integrals/tan-squared-x) e a [integral de sec³ x](/integrals/sec-cubed-x). Quando aparecer $\sqrt{a^2 - x^2}$ ou $x^2 + a^2$, siga para os [exercícios de substituição trigonométrica](/practice-problems/trig-substitution).

## Perguntas frequentes

### Como integrar seno ao quadrado de x?

Use $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$. Então $\int\sin^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$. O exercício 1 mostra os passos.

### O que fazer quando seno e cosseno têm potências ímpares?

Qualquer escolha funciona. Guarde um fator daquele que tem a menor potência ímpar para deixar as contas mais curtas.

### Por que as respostas de integrais trigonométricas mudam de um livro para outro?

As identidades trigonométricas permitem escrever a mesma função de muitas formas, e as respostas podem diferir por uma constante. Derive as duas formas ou compare-as em um ponto para conferir se coincidem.