# Exercícios de integral definida resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de integral definida com respostas e resoluções completas: polinômios, trigonometria, simetria, módulo, geometria e propriedades da integral.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-integral-definida
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 6
- **Pré-requisitos:** [Antiderivadas](/practice-problems/antiderivatives) e as [propriedades da integral definida](/rules/definite-integral-properties)
- **Ideia principal:** Encontre uma antiderivada e subtraia o seu valor no limite inferior do valor no limite superior
- **Pratique com novos números:** [Lição de área com sinal](/learn/calculus-1/integrals/signed-area)

## Pontos principais

- Calcule como $F(b) - F(a)$ e coloque parênteses em volta de $F(a)$ para que o sinal de menos atinja todos os termos.
- Uma integral definida dá a área com sinal: a área abaixo do eixo $x$ conta como negativa.
- Use simetria, geometria e as propriedades da integral para economizar trabalho sempre que puder.

Estes **exercícios de integral definida** começam com cálculo direto e avançam para simetria, módulo, geometria e as propriedades da integral. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rapidamente, e depois as resoluções completas.

A ferramenta para quase todos os exercícios é o [Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2):

$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a), \quad \text{onde } F' = f$$

## Exercícios

**Cálculo direto**

1. $\displaystyle\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$
2. $\displaystyle\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$
3. $\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx$
4. $\displaystyle\int_1^{e}\frac{1}{x}\,dx$
5. $\displaystyle\int_{-1}^{2}(3x^2 - 2x)\,dx$
6. $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx$

**Atalhos e divisão do intervalo**

7. $\displaystyle\int_{-2}^{2}x^3\,dx$
8. $\displaystyle\int_0^3 |x - 1|\,dx$
9. Sabendo que $\int_0^5 f(x)\,dx = 8$ e $\int_0^2 f(x)\,dx = 3$, encontre $\int_2^5 f(x)\,dx$, $\int_5^2 2f(x)\,dx$ e $\int_2^5 \big(2f(x) + 1\big)\,dx$.
10. $\displaystyle\int_{-3}^{3}\sqrt{9 - x^2}\,dx$ (use geometria)

**Significado**

11. Encontre o valor médio de $f(x) = x^2$ em $[0, 3]$.
12. Encontre $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ e a área total entre $y = \sin x$ e o eixo $x$ em $[0, 2\pi]$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $12$ |
| 2 | $\frac{14}{3}$ |
| 3 | $1$ |
| 4 | $1$ |
| 5 | $6$ |
| 6 | $e - 1$ |
| 7 | $0$ |
| 8 | $\frac{5}{2}$ |
| 9 | $5$, $-10$, $13$ |
| 10 | $\frac{9\pi}{2}$ |
| 11 | $3$ |
| 12 | Integral $0$, área total $4$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Uma antiderivada é $\frac{x^3}{3} + x$:

$$\left[\frac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$

**2.** Escreva $\sqrt{x} = x^{1/2}$, cuja antiderivada é $\frac{2}{3}x^{3/2}$:

$$\frac{2}{3}\left(4^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3}(8 - 1) = \frac{14}{3}$$

**3.** Uma antiderivada de $\cos x$ é $\sin x$:

$$\sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1$$

**4.** Uma antiderivada de $\frac{1}{x}$ é $\ln x$ para $x > 0$:

$$\ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1$$

**5.** Uma antiderivada é $x^3 - x^2$. Mantenha os parênteses em volta do valor no limite inferior:

$$\big(8 - 4\big) - \big((-1) - 1\big) = 4 - (-2) = 6$$

**6.** $e^x$ é a sua própria antiderivada:

$$e^1 - e^0 = e - 1$$

**7.** $x^3$ é uma função ímpar, e o intervalo $[-2, 2]$ é simétrico em relação a $0$. A área à esquerda cancela a área à direita, então a integral é $0$. Verificação: $\left[\frac{x^4}{4}\right]_{-2}^{2} = 4 - 4 = 0$.

**8.** $|x - 1|$ muda de fórmula em $x = 1$. Divida a integral nesse ponto:

$$\int_0^1 (1 - x)\,dx + \int_1^3 (x - 1)\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$

As duas partes são triângulos: um com base $1$ e altura $1$, outro com base $2$ e altura $2$.

**9.** O intervalo $[0, 5]$ se divide em $[0, 2]$ e $[2, 5]$, então $\int_2^5 f(x)\,dx = 8 - 3 = 5$. Inverter os limites troca o sinal, então $\int_5^2 2f(x)\,dx = -2(5) = -10$. Para a última, $\int_2^5 1\,dx = 3$, então a resposta é $2(5) + 3 = 13$. Veja as [propriedades da integral definida](/rules/definite-integral-properties).

**10.** $y = \sqrt{9 - x^2}$ é a metade de cima de um círculo de raio $3$. Metade de $\pi r^2$ é:

$$\frac{1}{2}\pi(3)^2 = \frac{9\pi}{2}$$

**11.** O valor médio é $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$:

$$\frac{1}{3}\int_0^3 x^2\,dx = \frac{1}{3}\cdot 9 = 3$$

**12.** A integral é $[-\cos x]_0^{2\pi} = -1 - (-1) = 0$. O arco acima do eixo cancela o arco abaixo dele. Para a área total, some os dois arcos como números positivos. Cada um tem área $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = 2$, então a área total é $4$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Esquecer os parênteses em $F(a)$.** No exercício 5, escrever $4 - 1 - 1$ em vez de $4 - (-2)$ dá $2$ em vez de $6$.
- **Confundir área com sinal e área total.** O exercício 12 mostra que elas podem ser bem diferentes. Procure a palavra "área" no enunciado.
- **Integrar $|x - 1|$ de uma vez só.** O módulo precisa ser dividido onde a expressão de dentro troca de sinal.
- **Esquecer que inverter os limites troca o sinal.** $\int_5^2$ é o oposto de $\int_2^5$.

## Continue praticando

Para integrais definidas ilimitadas com correção imediata, experimente a [lição de área com sinal](/learn/calculus-1/integrals/signed-area) e a [lição do Teorema Fundamental, Parte 2](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2). Depois passe para os [exercícios do Teorema Fundamental](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus) e os [exercícios de área entre curvas](/practice-problems/area-between-curves).

## Perguntas frequentes

### Precisa do +C em uma integral definida?

Não. A constante se cancela na subtração: $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Uma integral definida é um número.

### Uma integral definida pode ser negativa?

Sim. Se em $[a, b]$ uma parte maior do gráfico fica abaixo do eixo $x$ do que acima, a integral é negativa. Se você quer a área total, integre $|f(x)|$, como no exercício 12.

### O que acontece se você inverter os limites?

O sinal se inverte: $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$. O exercício 9 usa isso.