# Limites no infinito: exercícios resolvidos com respostas

> 12 exercícios de limites no infinito com respostas e resoluções completas: funções racionais, raízes quadradas, exponenciais e assíntotas horizontais.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-limites-no-infinito
Atualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{a x^n + \cdots}{b x^n + \cdots} = \frac{a}{b} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, unidade 1
- **Pré-requisitos:** Saber que $\frac{1}{x^p}\to 0$ quando $x\to\infty$ para $p > 0$
- **Ideia principal:** Divida pela maior potência de $x$ do denominador e deixe os termos pequenos tenderem a 0
- **Pratique com novos números:** [Lição de limites no infinito](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity)

## Pontos principais

- Em uma função racional, compare os graus: denominador maior dá $0$, graus iguais dão a razão entre os coeficientes dominantes, numerador maior dá $\pm\infty$.
- Com raízes quadradas, lembre que $\sqrt{x^2} = |x|$, que vale $-x$ quando $x\to -\infty$. Essa troca de sinal muda a resposta.
- Uma indeterminação $\infty - \infty$ com raiz quadrada geralmente exige o conjugado antes de enxergar o limite.

Estes **exercícios de limites no infinito** começam com funções racionais e passam por raízes quadradas, a indeterminação $\infty - \infty$, exponenciais e assíntotas horizontais. Resolva cada um antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

O atalho para funções racionais, em que $n$ é o grau do numerador e $m$ o grau do denominador:

$$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\text{numerador}}{\text{denominador}} = \begin{cases} 0 & n < m \\ \dfrac{\text{coeficiente dominante do numerador}}{\text{coeficiente dominante do denominador}} & n = m \\ \pm\infty & n > m \end{cases}$$

Para entender o raciocínio por trás dele, leia o [guia de limites no infinito](/blog/limits-at-infinity).

## Exercícios

**Funções racionais**

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{3x^2 + 2x}{5x^2 - 1}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{4x + 1}{x^2 + 3}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3 - 2}{4x^2 + x}$
4. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^3 - x}{1 - 6x^3}$

**Raízes quadradas**

5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
6. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{9x^2 + 1}}{2x + 5}$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2 + 6x} - x\right)$

**Trigonométricas e exponenciais**

8. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}$
9. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
10. $\displaystyle\lim_{x\to -\infty}\frac{2e^x + 3}{e^x - 1}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\arctan(x^2)$

**Assíntotas horizontais**

12. Encontre todas as assíntotas horizontais de $f(x) = \dfrac{5x - 2}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\dfrac{3}{5}$ |
| 2 | $0$ |
| 3 | $\infty$ |
| 4 | $-\dfrac{1}{3}$ |
| 5 | $\dfrac{3}{2}$ |
| 6 | $-\dfrac{3}{2}$ |
| 7 | $3$ |
| 8 | $0$ |
| 9 | $2$ |
| 10 | $-3$ |
| 11 | $\dfrac{\pi}{2}$ |
| 12 | $y = 5$ (quando $x\to\infty$) e $y = -5$ (quando $x\to -\infty$) |

## Resoluções passo a passo

**1.** Os graus são iguais, então divida o numerador e o denominador por $x^2$:

$$\frac{3 + \frac{2}{x}}{5 - \frac{1}{x^2}} \;\to\; \frac{3 + 0}{5 - 0} = \frac{3}{5}$$

**2.** O denominador tem grau maior. Divida por $x^2$:

$$\frac{\frac{4}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{3}{x^2}} \;\to\; \frac{0}{1} = 0$$

**3.** O numerador tem grau maior. Divida por $x^2$:

$$\frac{x - \frac{2}{x^2}}{4 + \frac{1}{x}}$$

O numerador cresce sem limite enquanto o denominador se aproxima de $4$, então o limite é $\infty$.

**4.** Graus iguais de novo. Divida por $x^3$:

$$\frac{2 - \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^3} - 6} \;\to\; \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$$

O sentido $-\infty$ não muda a resposta aqui, porque todos os termos que sobram continuam tendendo a $0$.

**5.** Coloque $x^2$ em evidência dentro da raiz. Para $x > 0$, $\sqrt{x^2} = x$:

$$\frac{x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = \frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; \frac{3}{2}$$

**6.** Mesma função, mas agora $x < 0$, então $\sqrt{x^2} = |x| = -x$:

$$\frac{-x\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{x\left(2 + \frac{5}{x}\right)} = -\frac{\sqrt{9 + \frac{1}{x^2}}}{2 + \frac{5}{x}} \;\to\; -\frac{3}{2}$$

**7.** É uma indeterminação $\infty - \infty$. Multiplique pelo conjugado sobre ele mesmo:

$$\frac{(x^2 + 6x) - x^2}{\sqrt{x^2 + 6x} + x} = \frac{6x}{\sqrt{x^2 + 6x} + x}$$

Divida o numerador e o denominador por $x$:

$$\frac{6}{\sqrt{1 + \frac{6}{x}} + 1} \;\to\; \frac{6}{1 + 1} = 3$$

**8.** Use o [Teorema do Confronto](/theorems/squeeze-theorem). Como $-1 \le \sin x \le 1$, para $x > 0$:

$$-\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$$

As duas funções de fora tendem a $0$, então o limite é $0$.

**9.** Quando $x\to\infty$, $e^x$ é o termo dominante. Divida por $e^x$:

$$\frac{2 + 3e^{-x}}{1 - e^{-x}} \;\to\; \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2$$

**10.** Quando $x\to -\infty$, $e^x\to 0$, então basta substituir esse valor:

$$\frac{2(0) + 3}{0 - 1} = -3$$

**11.** Quando $x\to\infty$, $x^2\to\infty$, e $\arctan u\to\frac{\pi}{2}$ quando $u\to\infty$. Então o limite é $\frac{\pi}{2}$.

**12.** Coloque $\sqrt{x^2} = |x|$ em evidência na raiz: $\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}$.

Quando $x\to\infty$, $|x| = x$:

$$\frac{5x - 2}{x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} = \frac{5 - \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \;\to\; 5$$

Quando $x\to -\infty$, $|x| = -x$, o que troca o sinal e dá $-5$. O gráfico tem duas assíntotas horizontais: $y = 5$ à direita e $y = -5$ à esquerda.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Escrever $\frac{\infty}{\infty} = 1$.** No exercício 1, o numerador e o denominador crescem, mas a resposta é $\frac{3}{5}$. Divida pela maior potência para ver o que realmente acontece.
- **Esquecer que $\sqrt{x^2} = |x|$.** Os exercícios 6 e 12 dão o sinal errado se você tratar $\sqrt{x^2}$ como $x$ quando $x$ é negativo.
- **Escrever $\infty - \infty = 0$.** O exercício 7 parece dar $0$, mas o conjugado mostra que o limite é $3$.
- **Supor que os dois sentidos dão o mesmo resultado.** Os exercícios 9 e 10 usam a mesma função e dão $2$ e $-3$. Exponenciais se comportam de forma muito diferente de cada lado.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números a cada vez e correção na hora, faça a [lição de limites no infinito](/learn/calculus-1/limits/limits-at-infinity) e depois a [prática mista de limites](/learn/calculus-1/limits/limits-practice). Se um limite no infinito virar $\frac{\infty}{\infty}$ com exponenciais e logaritmos misturados, os [exercícios de regra de L'Hôpital](/practice-problems/lhopitals-rule) mostram o método mais rápido.

## Perguntas frequentes

### Como calcular um limite no infinito?

Divida todos os termos pela maior potência de $x$ do denominador. Termos como $\frac{3}{x}$ e $\frac{1}{x^2}$ tendem a $0$, e o que sobra é o limite. Em funções racionais, dá para ir direto à comparação dos graus do numerador e do denominador.

### Qual a relação entre limites no infinito e assíntotas horizontais?

Se $\lim_{x\to\infty} f(x) = L$ ou $\lim_{x\to -\infty} f(x) = L$, então a reta $y = L$ é uma assíntota horizontal. Uma função pode ter duas assíntotas horizontais diferentes, uma de cada lado, como no exercício 12.

### Por que o limite muda quando x tende a menos infinito?

Geralmente por causa de uma raiz quadrada ou de uma exponencial. $\sqrt{x^2} = |x|$ é igual a $-x$ para $x$ negativo, e $e^x\to 0$ quando $x\to -\infty$, mas cresce sem limite quando $x\to\infty$. Polinômios e funções racionais sem raízes costumam dar o mesmo limite finito dos dois lados.