# Exercícios de multiplicadores de Lagrange resolvidos, com respostas > 12 exercícios de multiplicadores de Lagrange com respostas: extremos em retas e circunferências, pontos mais próximos, três variáveis e o significado de lambda. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-multiplicadores-de-lagrange Atualizado: 2026-11-06 $$ \nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 3 - **Pré-requisitos:** [Derivadas parciais](/practice-problems/partial-derivatives) e resolução de sistemas de equações - **Ideia principal:** Em um máximo ou mínimo com restrição, o gradiente de $f$ é paralelo ao gradiente da restrição - **Pratique com novos números:** [Lição de multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) ## Pontos principais - Escreva $\nabla f = \lambda\nabla g$ como uma equação para cada variável e acrescente a própria restrição. - Resolva eliminando $\lambda$: divida ou compare equações para obter uma relação entre as variáveis. - Substitua cada ponto candidato em $f$. O maior valor é o máximo e o menor é o mínimo. Estes **exercícios de multiplicadores de Lagrange** cobrem problemas com duas variáveis em retas e circunferências, problemas de ponto mais próximo, problemas com três variáveis e o significado de $\lambda$. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. O método, para encontrar os valores extremos de $f$ sujeita a $g = k$: $$\nabla f = \lambda\,\nabla g, \qquad g(x, y) = k$$ Resolva o sistema e depois compare $f$ em todas as soluções. Para entender a geometria por trás, leia o [guia de multiplicadores de Lagrange](/blog/lagrange-multipliers). ## Exercícios **Restrição em uma reta** 1. Maximize $f(x, y) = xy$ sujeita a $x + y = 10$. 2. Minimize $f(x, y) = x^2 + y^2$ sujeita a $x + y = 4$. 3. Encontre o ponto da reta $2x + y = 5$ mais próximo da origem. **Restrição em uma circunferência** 4. Encontre o máximo e o mínimo de $f(x, y) = x + y$ em $x^2 + y^2 = 2$. 5. Encontre o máximo e o mínimo de $f(x, y) = xy$ em $x^2 + y^2 = 8$. 6. Encontre o máximo e o mínimo de $f(x, y) = x^2y$ em $x^2 + y^2 = 3$. 7. Encontre o máximo e o mínimo de $f(x, y) = 2x + 3y$ em $x^2 + y^2 = 13$. **Três variáveis e aplicações** 8. Maximize $f(x, y, z) = xyz$ sujeita a $x + y + z = 12$, com $x, y, z > 0$. 9. Encontre o ponto do plano $x + 2y + 2z = 9$ mais próximo da origem. 10. Uma caixa fechada tem volume $8$. Encontre as dimensões com a menor área de superfície. 11. Um retângulo tem perímetro $40$. Encontre a maior área possível. 12. No exercício 1, encontre $\lambda$. Use-o para estimar o novo máximo se a restrição passar a ser $x + y = 11$ e compare com o valor exato. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | Máximo $25$ em $(5, 5)$ | | 2 | Mínimo $8$ em $(2, 2)$ | | 3 | $(2, 1)$, distância $\sqrt{5}$ | | 4 | Máximo $2$ em $(1, 1)$, mínimo $-2$ em $(-1, -1)$ | | 5 | Máximo $4$ em $\pm(2, 2)$, mínimo $-4$ em $\pm(2, -2)$ | | 6 | Máximo $2$ em $(\pm\sqrt{2}, 1)$, mínimo $-2$ em $(\pm\sqrt{2}, -1)$ | | 7 | Máximo $13$ em $(2, 3)$, mínimo $-13$ em $(-2, -3)$ | | 8 | Máximo $64$ em $(4, 4, 4)$ | | 9 | $(1, 2, 2)$, distância $3$ | | 10 | Um cubo $2\times 2\times 2$, área de superfície $24$ | | 11 | $100$, um quadrado $10\times 10$ | | 12 | $\lambda = 5$; estimativa $30$, valor exato $30.25$ | ## Resolução passo a passo **1.** $\nabla f = \langle y, x\rangle$ e $\nabla g = \langle 1, 1\rangle$. Então $y = \lambda$ e $x = \lambda$, o que dá $x = y$. A restrição dá $x = y = 5$ e $f = 25$. **2.** $\langle 2x, 2y\rangle = \lambda\langle 1, 1\rangle$, então $x = y = 2$ e $f = 8$. Ao longo da reta, $x^2 + y^2$ cresce sem limite, então este é um mínimo. **3.** Minimize o quadrado da distância, $x^2 + y^2$. Então $2x = 2\lambda$ e $2y = \lambda$, logo $x = 2y$. A restrição dá $4y + y = 5$, então $y = 1$ e $x = 2$. A distância é $\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$. **4.** $\langle 1, 1\rangle = \lambda\langle 2x, 2y\rangle$, então $x = y$. Assim $2x^2 = 2$, logo $x = \pm 1$. Compare: $f(1, 1) = 2$ e $f(-1, -1) = -2$. **5.** $y = 2\lambda x$ e $x = 2\lambda y$. Multiplique: $xy = 4\lambda^2 xy$. Se $xy \neq 0$, então $\lambda = \pm\frac{1}{2}$ e $x^2 = y^2$. A restrição dá $x^2 = 4$. Os pontos $(2, 2)$ e $(-2, -2)$ dão $4$; $(2, -2)$ e $(-2, 2)$ dão $-4$. Se $xy = 0$, então $f = 0$, que não é nem máximo nem mínimo. **6.** $2xy = 2\lambda x$ e $x^2 = 2\lambda y$. Se $x \neq 0$, a primeira dá $\lambda = y$, e a segunda dá $x^2 = 2y^2$. A restrição vira $3y^2 = 3$, então $y = \pm 1$ e $x = \pm\sqrt{2}$. Assim $f = x^2y = 2y$, que vale $2$ ou $-2$. O caso $x = 0$ dá $f = 0$. **7.** $2 = 2\lambda x$ e $3 = 2\lambda y$, então $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ e $y = \frac{3}{2}x$. A restrição dá $x^2 + \frac{9}{4}x^2 = 13$, então $x^2 = 4$ e $x = \pm 2$. Os pontos $(2, 3)$ e $(-2, -3)$ dão $13$ e $-13$. **8.** $yz = \lambda$, $xz = \lambda$ e $xy = \lambda$. Comparando, obtemos $x = y = z$, então cada um vale $4$ e $f = 64$. **9.** Minimize $x^2 + y^2 + z^2$. Então $\langle 2x, 2y, 2z\rangle = \lambda\langle 1, 2, 2\rangle$, logo $(x, y, z) = t(1, 2, 2)$. A restrição dá $t + 4t + 4t = 9$, então $t = 1$. O ponto é $(1, 2, 2)$ e a distância é $\sqrt{1 + 4 + 4} = 3$. **10.** Minimize $S = 2(xy + yz + xz)$ sujeita a $xyz = 8$. As equações $2(y + z) = \lambda yz$, $2(x + z) = \lambda xz$ e $2(x + y) = \lambda xy$ dão $x = y = z$. Então $x^3 = 8$, e a caixa é um cubo $2\times 2\times 2$ com $S = 24$. **11.** Maximize $xy$ sujeita a $2x + 2y = 40$. Então $y = 2\lambda$ e $x = 2\lambda$, logo $x = y = 10$ e a área é $100$. **12.** No exercício 1, $\lambda = x = 5$. Aumentar a restrição de $10$ para $11$ deve aumentar o máximo em cerca de $5$, para $30$. O máximo exato para $x + y = 11$ é $5.5^2 = 30.25$. Bem próximo. ## Erros comuns nestes exercícios - **Dividir por uma variável que pode ser $0$.** Nos exercícios 5 e 6, verifique separadamente os casos $x = 0$ ou $y = 0$. - **Esquecer a equação da restrição.** $\nabla f = \lambda\nabla g$ sozinha tem incógnitas demais. A restrição é a equação que falta. - **Parar em um único ponto.** Em uma circunferência há um máximo e um mínimo. Encontre todas as soluções e compare. - **Minimizar a distância com raiz quadrada.** Minimize o quadrado da distância. Ele tem o mesmo ponto de mínimo e derivadas mais simples. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a [lição de multiplicadores de Lagrange](/learn/calculus-3/partial-derivatives/lagrange-multipliers) e a [lição de pontos críticos e teste da segunda derivada](/learn/calculus-3/partial-derivatives/critical-points-and-second-derivative-test). Para praticar os gradientes de que estes exercícios precisam, veja os [exercícios de derivadas parciais](/practice-problems/partial-derivatives). ## Perguntas frequentes ### Como resolver as equações de Lagrange? Escreva cada componente de $\nabla f = \lambda\nabla g$, isole $\lambda$ em cada uma e iguale os resultados. Isso dá uma relação como $x = y$ ou $x^2 = 2y^2$. Substitua-a na restrição. Fique atento aos casos em que uma variável é $0$, porque dividir por ela faria você perder soluções. ### Como saber se um ponto é máximo ou mínimo? Em uma restrição fechada e limitada, como uma circunferência, substitua todos os candidatos em $f$ e compare. Em uma restrição ilimitada, como uma reta, pense no que acontece longe: no exercício 2, $x^2 + y^2$ cresce sem limite ao longo da reta, então o único candidato é um mínimo. ### O que lambda significa? É a taxa com que o valor ótimo varia quando o valor $k$ da restrição varia. Se $\lambda = 5$, aumentar $k$ em $1$ aumenta o melhor valor de $f$ em cerca de $5$. O exercício 12 confere isso.