# Otimização: exercícios resolvidos de cálculo com respostas

> 10 exercícios de otimização em cálculo com respostas e resoluções completas: cercas, caixas, latas, ponto mais próximo, receita e o caminho mais rápido.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-otimizacao
Atualizado: 2026-11-06

$$ f'(x) = 0 \;\text{ ou não existe} \;\Rightarrow\; \text{teste os pontos críticos e as extremidades} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 10 problemas contextualizados, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, unidade 5
- **Pré-requisitos:** Pontos críticos, o teste da segunda derivada e fórmulas básicas de área e volume
- **Ideia principal:** Escreva a grandeza a otimizar como função de uma variável, iguale a derivada a 0 e confirme se é máximo ou mínimo
- **Pratique com novos números:** [Lição de otimização](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization)

## Pontos principais

- Use a restrição para escrever a grandeza desejada em função de uma única variável antes de derivar.
- Sempre indique o domínio. Em um intervalo fechado, compare os pontos críticos com as extremidades.
- Confirme se a resposta é máximo ou mínimo com o teste da segunda derivada ou um estudo de sinal e depois responda exatamente o que foi perguntado.

Estes **exercícios de otimização** pedem o maior ou o menor valor de algo concreto: uma área, um volume, uma distância, um custo ou um tempo. Monte cada um sozinho antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas.

Todo problema segue os mesmos passos:

1. Faça um desenho e dê nome às variáveis.
2. Escreva a grandeza a otimizar (a função objetivo).
3. Use a restrição para escrevê-la em função de uma variável e encontre o domínio.
4. Iguale a derivada a $0$ e resolva.
5. Confirme se é máximo ou mínimo e responda à pergunta com unidades.

Para saber mais sobre o método, leia o [guia de problemas de otimização](/blog/optimization-problems).

## Exercícios

**Números**

1. Dois números positivos somam $20$. Qual é o maior produto possível?
2. Dois números positivos têm produto $16$. Qual é a menor soma possível?

**Cercas e caixas**

3. **Cerca à beira do rio.** Um fazendeiro tem $240$ m de cerca para fazer um cercado retangular ao longo de um rio reto. Não é preciso cercar o lado do rio. Quais dimensões dão a maior área?
4. **Caixa sem tampa.** Uma caixa sem tampa é feita a partir de uma folha de papelão de $12$ in por $12$ in, cortando quadrados iguais em cada canto e dobrando as laterais. Qual tamanho de quadrado dá o maior volume?
5. **Caixa de base quadrada.** Uma caixa sem tampa e de base quadrada deve comportar $32{,}000$ cm³. Quais dimensões usam a menor quantidade de material?
6. **Lata de sopa.** Uma lata cilíndrica fechada deve comportar $500$ cm³. Qual raio e qual altura usam a menor quantidade de metal?

**Geometria e distância**

7. **Retângulo em um semicírculo.** Um retângulo está dentro de um semicírculo de raio $10$, com a base sobre o diâmetro. Qual é a maior área possível?
8. **Ponto mais próximo.** Qual ponto da curva $y = \sqrt{x}$ está mais próximo do ponto $(3, 0)$?

**Negócios e movimento**

9. **Preço do ingresso.** Ao preço de $p$ dólares, um teatro vende $600 - 20p$ ingressos. Qual preço dá a maior receita?
10. **Barco a remo.** Você está em um barco a remo a $3$ km de uma costa reta. Quer chegar a uma cidade na costa, $8$ km adiante do ponto mais próximo. Você rema a $2$ km/h e caminha a $4$ km/h. Onde deve desembarcar para chegar o mais rápido possível?

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $10$ e $10$, produto $100$ |
| 2 | $4$ e $4$, soma $8$ |
| 3 | $60$ m por $120$ m (lado maior ao longo do rio), área $7200$ m² |
| 4 | Quadrados de $2$ in, volume $128$ in³ |
| 5 | Base de $40$ cm por $40$ cm, altura $20$ cm, $4800$ cm² de material |
| 6 | $r = \sqrt[3]{\frac{250}{\pi}} \approx 4.30$ cm, $h = 2r \approx 8.60$ cm |
| 7 | $100$ (largura $10\sqrt{2}$, altura $5\sqrt{2}$) |
| 8 | $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right) \approx (2.5, 1.58)$, distância $\frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$ |
| 9 | $p = 15$ dólares, receita de $4500$ dólares |
| 10 | Desembarque a $\sqrt{3} \approx 1.73$ km adiante na costa, tempo total $\approx 3.30$ h |

## Resoluções passo a passo

**1.** Sejam os números $x$ e $20 - x$, com $0 < x < 20$. Maximize $P = x(20 - x) = 20x - x^2$:

$$P' = 20 - 2x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 10$$

$P'' = -2 < 0$, então é um máximo. Os números são $10$ e $10$, e o produto é $100$.

**2.** Sejam os números $x$ e $\frac{16}{x}$, com $x > 0$. Minimize $S = x + \frac{16}{x}$:

$$S' = 1 - \frac{16}{x^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 4$$

$S'' = \frac{32}{x^3} > 0$, então é um mínimo. Os números são $4$ e $4$, e a soma é $8$.

**3.** Seja $x$ cada lado perpendicular ao rio. O lado ao longo do rio mede $240 - 2x$, com $0 < x < 120$. Maximize

$$A = x(240 - 2x) = 240x - 2x^2, \qquad A' = 240 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 60$$

$A'' = -4 < 0$, então é um máximo. O cercado mede $60$ m por $120$ m, com área $7200$ m².

**4.** Seja $x$ o lado de cada quadrado. A base mede $12 - 2x$ de cada lado e a altura é $x$, com $0 < x < 6$:

$$V = x(12 - 2x)^2$$

Use a regra do produto e fatore:

$$V' = (12 - 2x)^2 - 4x(12 - 2x) = (12 - 2x)(12 - 6x)$$

$V' = 0$ em $x = 6$ (uma extremidade, onde $V = 0$) e em $x = 2$. Como $V$ vale $0$ nas duas extremidades e é positivo entre elas, $x = 2$ dá o máximo: $V = 2\cdot 8^2 = 128$ in³.

**5.** Seja a base $x$ por $x$ e a altura $h$. A restrição é $x^2h = 32000$, então $h = \frac{32000}{x^2}$. O material é a base mais as quatro laterais:

$$S = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{128000}{x}, \qquad S' = 2x - \frac{128000}{x^2} = 0$$

Então $x^3 = 64000$ e $x = 40$. Logo $h = \frac{32000}{1600} = 20$. Como $S'' = 2 + \frac{256000}{x^3} > 0$, é um mínimo, e $S = 1600 + 3200 = 4800$ cm².

**6.** Uma lata fechada tem dois círculos e uma lateral: $S = 2\pi r^2 + 2\pi rh$. A restrição $\pi r^2h = 500$ dá $h = \frac{500}{\pi r^2}$:

$$S = 2\pi r^2 + \frac{1000}{r}, \qquad S' = 4\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{250}{\pi}$$

Então $r = \sqrt[3]{250/\pi} \approx 4.30$ cm. $S'' = 4\pi + \frac{2000}{r^3} > 0$, então é um mínimo. Daí $h = \frac{500}{\pi r^2}$. Como $\pi r^3 = 250$, isso dá $h = \frac{2\pi r^3}{\pi r^2} = 2r \approx 8.60$ cm. A melhor lata tem altura igual ao diâmetro.

**7.** Coloque o centro do semicírculo na origem. Um vértice do retângulo fica em $(x, y)$ sobre a curva $y = \sqrt{100 - x^2}$. A largura é $2x$:

$$A = 2x\sqrt{100 - x^2}, \qquad 0 \le x \le 10$$

$$A' = 2\sqrt{100 - x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{100 - x^2}} = \frac{2(100 - 2x^2)}{\sqrt{100 - x^2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 = 50$$

Então $x = 5\sqrt{2}$ e $y = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$. A área é $2(5\sqrt{2})(5\sqrt{2}) = 100$. Nas extremidades $A = 0$, então este é o máximo.

**8.** Um ponto da curva é $(x, \sqrt{x})$. Minimize o quadrado da distância, que tem o mínimo no mesmo lugar e é mais fácil de derivar:

$$D^2 = (x - 3)^2 + x, \qquad \frac{d}{dx}D^2 = 2(x - 3) + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{5}{2}$$

A segunda derivada é $2 > 0$, então é um mínimo. O ponto é $\left(\frac{5}{2}, \sqrt{\frac{5}{2}}\right)$ e a distância é $\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{11}}{2} \approx 1.66$.

**9.** A receita é o preço vezes os ingressos vendidos, com $0 \le p \le 30$:

$$R = p(600 - 20p) = 600p - 20p^2, \qquad R' = 600 - 40p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = 15$$

$R'' = -40 < 0$, então é um máximo. São vendidos $300$ ingressos, com $R = 4500$ dólares.

**10.** Desembarque a $x$ km do ponto mais próximo, com $0 \le x \le 8$. A distância remando é $\sqrt{9 + x^2}$ e a distância caminhando é $8 - x$. Tempo é distância dividida por velocidade:

$$T = \frac{\sqrt{9 + x^2}}{2} + \frac{8 - x}{4}, \qquad T' = \frac{x}{2\sqrt{9 + x^2}} - \frac{1}{4} = 0$$

Então $2x = \sqrt{9 + x^2}$, o que dá $4x^2 = 9 + x^2$ e $x = \sqrt{3} \approx 1.73$. Compare com as extremidades:

| Ponto de desembarque | Tempo |
| --- | --- |
| $x = 0$ | $1.5 + 2 = 3.5$ h |
| $x = \sqrt{3}$ | $2 + \frac{3\sqrt{3}}{4} \approx 3.30$ h |
| $x = 8$ | $\frac{\sqrt{73}}{2} \approx 4.27$ h |

Desembarcar $\sqrt{3}$ km adiante na costa é o mais rápido.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Derivar com duas variáveis.** No exercício 5, use o volume para substituir $h$ antes de derivar.
- **Ignorar as extremidades.** Em um intervalo fechado, como no exercício 10, a melhor resposta pode estar em uma extremidade. Sempre compare.
- **Responder à pergunta errada.** O exercício 4 pede o tamanho dos quadrados, então a resposta é $2$ in, e não apenas o volume.
- **Esquecer que o lado do rio não precisa de cerca.** No exercício 3 há só três lados de cerca: $2x + y = 240$.

## Continue praticando

Estes 10 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novos números e correção na hora em cada passo, faça a [lição de otimização](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/optimization) e a [lição de extremos absolutos](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/absolute-extrema). Para entender por que o método dos pontos críticos funciona, leia sobre o [Teorema de Fermat](/theorems/fermats-theorem) e o [Teorema do Valor Extremo](/theorems/extreme-value-theorem), ou pratique a busca de extremos com os [exercícios de esboço de gráficos](/practice-problems/curve-sketching).

## Perguntas frequentes

### Como resolver problemas de otimização em cálculo?

Faça um desenho e dê nome às variáveis. Escreva a grandeza a maximizar ou minimizar e use a restrição para reduzi-la a uma variável. Encontre o domínio, iguale a derivada a zero, teste os pontos críticos e as extremidades e responda por extenso, com unidades.

### O que é a restrição em um problema de otimização?

É a condição fixa, como "240 m de cerca" ou "volume de 500 cm³". Ela dá uma equação que permite isolar uma variável em função da outra, de modo que a função objetivo passe a depender de uma só variável.

### Como saber se encontrei um máximo ou um mínimo?

Use o teste da segunda derivada: $f''(c) < 0$ indica máximo local e $f''(c) > 0$ indica mínimo local. Se houver um único ponto crítico em um intervalo, esse máximo ou mínimo local também é o absoluto. Em um intervalo fechado, você também pode simplesmente comparar os valores nos pontos críticos e nas extremidades.