# Paramétricas e polares: exercícios resolvidos com respostas > 12 exercícios de curvas paramétricas e coordenadas polares com respostas: dy/dx, retas tangentes, comprimento de arco, conversões e área em polares. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-parametricas-e-polares Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\,d\theta $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, unidade 9 - **Pré-requisitos:** A [regra da cadeia](/rules/chain-rule), valores trigonométricos e [integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals) - **Ideia principal:** Paramétricas: divida as derivadas em $t$. Polares: use $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ - **Pratique com novos números:** [Lição de área em coordenadas polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area) ## Pontos principais - Para curvas paramétricas, $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$, e $\frac{d^2y}{dx^2}$ é a derivada em $t$ de $\frac{dy}{dx}$ dividida de novo por $\frac{dx}{dt}$. - Converta com $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ e $r^2 = x^2 + y^2$. - A área em polares é $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$. Escolha limites que percorram a região exatamente uma vez. Estes **exercícios de equações paramétricas e coordenadas polares** cobrem inclinações, retas tangentes, segundas derivadas e comprimento de arco de curvas paramétricas e, depois, conversões, inclinações e áreas em coordenadas polares. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, seguidas das resoluções completas. As fórmulas principais: $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}, \qquad L = \int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt, \qquad A = \frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}r^2\,d\theta$$ ## Exercícios **Curvas paramétricas** 1. Para $x = t^2$, $y = t^3$, encontre $\frac{dy}{dx}$ e seu valor em $t = 2$. 2. Encontre a reta tangente à curva do exercício 1 em $t = 2$. 3. Elimine o parâmetro: $x = 2\cos t$, $y = 3\sin t$. 4. Para $x = t^2$, $y = t^3$, encontre $\frac{d^2y}{dx^2}$. 5. Encontre os pontos em que $x = t^2 - 1$, $y = t^3 - 3t$ tem tangente horizontal. 6. Encontre o comprimento de arco de $x = t^2$, $y = \frac{2}{3}t^3$ para $0 \le t \le 1$. **Coordenadas polares** 7. Converta o ponto polar $(r, \theta) = \left(4, \frac{\pi}{3}\right)$ para coordenadas cartesianas. 8. Converta $r = 4\sin\theta$ para uma equação cartesiana e descreva a curva. 9. Encontre a inclinação $\frac{dy}{dx}$ de $r = 1 + \cos\theta$ em $\theta = \frac{\pi}{2}$. **Área em polares** 10. Encontre a área interna a $r = 2\cos\theta$. 11. Encontre a área de uma pétala de $r = \cos(2\theta)$. 12. Encontre a área interna à cardioide $r = 1 + \cos\theta$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$; em $t = 2$, inclinação $3$ | | 2 | $y = 3x - 4$ | | 3 | $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$ | | 4 | $\frac{3}{4t}$ | | 5 | $(0, -2)$ e $(0, 2)$ | | 6 | $\frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right) \approx 1.219$ | | 7 | $\left(2, 2\sqrt{3}\right)$ | | 8 | $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, uma circunferência | | 9 | $1$ | | 10 | $\pi$ | | 11 | $\frac{\pi}{8}$ | | 12 | $\frac{3\pi}{2}$ | ## Resoluções passo a passo **1.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ e $\frac{dy}{dt} = 3t^2$: $$\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2}{2t} = \frac{3t}{2}, \qquad \text{em } t = 2: \ 3$$ **2.** Em $t = 2$ o ponto é $(4, 8)$ e a inclinação é $3$: $y - 8 = 3(x - 4)$, então $y = 3x - 4$. **3.** $\cos t = \frac{x}{2}$ e $\sin t = \frac{y}{3}$. Use $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$: $$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$$ É uma elipse. **4.** Derive $\frac{dy}{dx} = \frac{3t}{2}$ em relação a $t$ para obter $\frac{3}{2}$ e divida por $\frac{dx}{dt} = 2t$: $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{3/2}{2t} = \frac{3}{4t}$$ **5.** $\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3 = 0$ em $t = \pm 1$, e ali $\frac{dx}{dt} = 2t \neq 0$. Em $t = 1$: $(0, -2)$. Em $t = -1$: $(0, 2)$. **6.** $\frac{dx}{dt} = 2t$ e $\frac{dy}{dt} = 2t^2$, então a velocidade escalar é $\sqrt{4t^2 + 4t^4} = 2t\sqrt{1 + t^2}$ para $t \ge 0$. Com $u = 1 + t^2$: $$\int_0^1 2t\sqrt{1 + t^2}\,dt = \left[\frac{2}{3}(1 + t^2)^{3/2}\right]_0^1 = \frac{2}{3}\left(2\sqrt{2} - 1\right)$$ **7.** $x = 4\cos\frac{\pi}{3} = 2$ e $y = 4\sin\frac{\pi}{3} = 2\sqrt{3}$. **8.** Multiplique os dois lados por $r$: $r^2 = 4r\sin\theta$, então $x^2 + y^2 = 4y$. Complete o quadrado: $$x^2 + (y - 2)^2 = 4$$ Uma circunferência de raio $2$ com centro em $(0, 2)$. **9.** Use $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ com $r' = -\sin\theta$. Em $\theta = \frac{\pi}{2}$: $r = 1$ e $r' = -1$. $$\frac{dy}{d\theta} = r'\sin\theta + r\cos\theta = -1, \qquad \frac{dx}{d\theta} = r'\cos\theta - r\sin\theta = -1$$ Então $\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{-1} = 1$. **10.** A circunferência é percorrida uma vez para $-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$: $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}4\cos^2\theta\,d\theta = 2\cdot\frac{\pi}{2} = \pi$$ Isso confere com uma circunferência de raio $1$. **11.** Uma pétala vai de $\theta = -\frac{\pi}{4}$ até $\frac{\pi}{4}$, onde $\cos 2\theta \ge 0$. Use $\cos^2 2\theta = \frac{1 + \cos 4\theta}{2}$: $$\frac{1}{2}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos^2(2\theta)\,d\theta = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$$ **12.** Desenvolva $(1 + \cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta$. Em $[0, 2\pi]$, as integrais desses termos dão $2\pi$, $0$ e $\pi$: $$\frac{1}{2}(2\pi + 0 + \pi) = \frac{3\pi}{2}$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Dividir segundas derivadas.** No exercício 4, $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2} = \frac{6t}{2} = 3t$ está errado. - **Usar $\frac{dr}{d\theta}$ como inclinação.** No exercício 9, $r' = -1$, mas a inclinação da curva é $1$. - **Limites que percorrem a curva duas vezes.** $r = 2\cos\theta$ em $[0, 2\pi]$ dá duas voltas e resulta em $2\pi$. - **Esquecer o $\frac{1}{2}$.** A área em polares é $\frac{1}{2}\int r^2\,d\theta$, e não $\int r\,d\theta$. ## Continue praticando Para exercícios ilimitados com correção na hora, faça a [lição de curvas paramétricas](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-curves), a [lição de comprimento de arco paramétrico](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/parametric-arc-length), a [lição de inclinação em polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-slopes) e a [lição de área em polares](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/polar-area). ## Perguntas frequentes ### Como calcular a segunda derivada de uma curva paramétrica? Derive $\frac{dy}{dx}$ em relação a $t$ e divida por $\frac{dx}{dt}$. Ela não é $\frac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. O exercício 4 mostra os passos. ### Por que a área em polares tem um meio de r ao quadrado? Uma fatia fina de uma região polar é quase um setor circular de raio $r$ e ângulo $d\theta$. Um setor tem área $\frac{1}{2}r^2\,d\theta$, e a integral soma as fatias. ### Onde uma curva paramétrica tem tangente horizontal? Onde $\frac{dy}{dt} = 0$ e $\frac{dx}{dt} \neq 0$. A tangente é vertical onde $\frac{dx}{dt} = 0$ e $\frac{dy}{dt} \neq 0$. Se as duas forem zero, é preciso investigar mais.