# Exercícios de regra da cadeia resolvidos, com respostas > 12 exercícios de regra da cadeia com respostas e resolução passo a passo, de (3x+1)⁵ até funções compostas em camadas como sen²(4x) e e^(cos x). Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-regra-da-cadeia Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x) $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 3 - **Pré-requisitos:** A [regra da potência](/rules/power-rule) e as derivadas básicas trigonométricas, exponenciais e logarítmicas - **Ideia principal:** Derive a função de fora, mantenha a de dentro e multiplique pela derivada da função de dentro - **Pratique com novos números:** [Lições de regra da cadeia](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) ## Pontos principais - Primeiro dê o nome $u$ à função de dentro e depois escreva a derivada como (derivada da função de fora em $u$) vezes $u'$. - Em funções com várias camadas, trabalhe de fora para dentro e multiplique uma derivada por camada. - O erro mais comum é esquecer a derivada da função de dentro, então confira se cada camada contribuiu com um fator. Estes **exercícios de regra da cadeia** começam com uma única camada e avançam até funções com várias camadas e combinações com as regras do produto e do quociente. Tente cada um antes de ler a resolução. As respostas aparecem primeiro para você conferir rapidamente, e as resoluções completas vêm em seguida. A regra de que você precisa: $$\frac{d}{dx}\,f(g(x)) = f'(g(x))\cdot g'(x)$$ Derive a função de fora, deixe a de dentro como está e multiplique pela derivada da função de dentro. Para revisar, leia primeiro a página da [regra da cadeia](/rules/chain-rule). ## Exercícios **Uma camada** 1. $y = (3x + 1)^5$ 2. $y = \sqrt{x^2 + 9}$ 3. $y = \sin(4x)$ 4. $y = e^{x^2}$ 5. $y = \ln(x^3 + 2x)$ 6. $y = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}$ **Duas ou mais camadas** 7. $y = \sin^2(4x)$ 8. $y = e^{\cos x}$ 9. $y = \tan\!\left(\sqrt{x}\right)$ **Com a regra do produto ou do quociente** 10. $y = x^2 \sin(3x)$ 11. $y = x\,e^{-2x}$ 12. $y = \dfrac{(x+1)^4}{x^2}$ ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $15(3x + 1)^4$ | | 2 | $\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}$ | | 3 | $4\cos(4x)$ | | 4 | $2x\,e^{x^2}$ | | 5 | $\dfrac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$ | | 6 | $-\dfrac{6}{(2x - 5)^4}$ | | 7 | $8\sin(4x)\cos(4x) = 4\sin(8x)$ | | 8 | $-\sin x\,e^{\cos x}$ | | 9 | $\dfrac{\sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$ | | 10 | $2x\sin(3x) + 3x^2\cos(3x)$ | | 11 | $(1 - 2x)\,e^{-2x}$ | | 12 | $\dfrac{2(x+1)^3(x - 1)}{x^3}$ | ## Resolução passo a passo **1.** A função de dentro é $u = 3x + 1$, com $u' = 3$. A de fora é $u^5$, cuja derivada é $5u^4$: $$y' = 5(3x+1)^4 \cdot 3 = 15(3x+1)^4$$ **2.** Escreva $y = (x^2 + 9)^{1/2}$. A derivada da função de dentro é $2x$: $$y' = \frac{1}{2}(x^2+9)^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+9}}$$ **3.** A função de fora é $\sin u$, cuja derivada é $\cos u$, e $u' = 4$: $$y' = \cos(4x)\cdot 4 = 4\cos(4x)$$ **4.** A derivada de $e^u$ é $e^u \cdot u'$, e $u = x^2$: $$y' = e^{x^2}\cdot 2x = 2x\,e^{x^2}$$ **5.** A derivada de $\ln u$ é $\frac{u'}{u}$ (veja a [derivada de ln x](/derivatives/ln-x)): $$y' = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x}$$ **6.** Reescreva como $y = (2x - 5)^{-3}$ e use a regra da potência na função de fora: $$y' = -3(2x - 5)^{-4}\cdot 2 = -\frac{6}{(2x-5)^4}$$ **7.** Há três camadas: um quadrado, um seno e $4x$. Trabalhe de fora para dentro: $$y' = 2\sin(4x)\cdot\cos(4x)\cdot 4 = 8\sin(4x)\cos(4x)$$ Com a identidade do arco duplo $2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$, isso é $4\sin(8x)$. **8.** A função de fora é $e^u$, com $u = \cos x$ e $u' = -\sin x$: $$y' = e^{\cos x}\cdot(-\sin x) = -\sin x\,e^{\cos x}$$ **9.** A função de fora é $\tan u$, com derivada $\sec^2 u$, e $u = \sqrt{x}$ tem $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$: $$y' = \sec^2\!\left(\sqrt{x}\right)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$$ **10.** Use a [regra do produto](/rules/product-rule), com a regra da cadeia em $\sin(3x)$: $$y' = 2x\sin(3x) + x^2\cdot 3\cos(3x)$$ **11.** Regra do produto de novo. A derivada de $e^{-2x}$ é $-2e^{-2x}$: $$y' = 1\cdot e^{-2x} + x\cdot(-2e^{-2x}) = (1 - 2x)e^{-2x}$$ **12.** Use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule), com a regra da cadeia no numerador: $$y' = \frac{4(x+1)^3\cdot x^2 - (x+1)^4\cdot 2x}{x^4}$$ Coloque $2x(x+1)^3$ em evidência no numerador: $2x(x+1)^3\big(2x - (x + 1)\big) = 2x(x+1)^3(x-1)$. Simplifique um $x$: $$y' = \frac{2(x+1)^3(x-1)}{x^3}$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Esquecer a derivada da função de dentro.** No exercício 3, $\cos(4x)$ sozinho está errado. O fator $4$ é justamente o ponto da regra da cadeia. - **Alterar a função de dentro.** A derivada de $\sin(4x)$ é $4\cos(4x)$, não $4\cos(4)$ nem $\cos(4)$. A parte de dentro fica exatamente como estava. - **Pular uma camada.** O exercício 7 tem três camadas, então a resposta tem três fatores. Conte-os antes de terminar. - **Expandir cedo demais.** No exercício 1, expandir $(3x+1)^5$ primeiro é possível, mas é lento e propenso a erros. A regra da cadeia resolve em uma linha. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada, com números novos a cada vez e correção imediata em cada passo, experimente as [lições de regra da cadeia](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-powers) e depois a [prática mista de regra da cadeia](/learn/calculus-1/derivative-rules/chain-rule-general). Para a teoria com mais exemplos, leia o [guia da regra da cadeia](/blog/chain-rule). ## Perguntas frequentes ### Como saber quando usar a regra da cadeia? Use-a sempre que uma função estiver dentro de outra, como $(x^2+1)^5$, $\sin(3x)$ ou $e^{x^2}$. Se, trocando a parte de dentro por $x$ sozinho, você obtiver uma função que já sabe derivar, a regra da cadeia se aplica. ### Como conferir uma resposta com regra da cadeia? Conte as camadas e verifique se cada uma gerou um fator. Você também pode testar um valor: escolha um número para $x$, estime a inclinação com um passo pequeno, como $\frac{f(x+0.001)-f(x)}{0.001}$, e compare com a sua fórmula. ### Dá para combinar a regra da cadeia com a regra do produto? Sim, e isso é muito comum. Em $x^2\sin(3x)$ você usa a regra do produto para o produto e a regra da cadeia para derivar $\sin(3x)$. Os exercícios 10 e 11 abaixo mostram isso.