# Exercícios de regra da potência resolvidos, com respostas > 12 exercícios de regra da potência com respostas e resolução passo a passo: polinômios, expoentes negativos e fracionários, raízes e retas tangentes. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-regra-da-potencia Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 2 - **Você precisa saber:** Propriedades das potências, principalmente $\frac{1}{x^n} = x^{-n}$ e $\sqrt[n]{x^m} = x^{m/n}$ - **Ideia principal:** Reescreva como uma potência de x, desça o expoente e depois subtraia 1 dele - **Pratique com novos números:** [Lições de regra da potência](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) ## Pontos principais - Reescreva raízes e frações como potências de $x$ antes de derivar. - Subtrair 1 de um expoente negativo o deixa ainda mais negativo: $x^{-2}$ vira $-2x^{-3}$. - Primeiro desenvolva produtos e separe quocientes cujo denominador tem um único termo. Depois a regra da potência resolve cada termo separadamente. Estes **exercícios de regra da potência** começam com potências simples e polinômios e avançam para expoentes negativos e fracionários, funções que precisam ser reescritas antes de derivar e retas tangentes. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas. A regra: $$\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1}$$ Você também vai usar a [regra da soma e da diferença](/rules/sum-and-difference-rule) e a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) em quase todos os exercícios. Para revisar, leia a página da [regra da potência](/rules/power-rule). ## Exercícios **Potências e polinômios** 1. $y = x^7$ 2. $y = 4x^5$ 3. $y = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 9$ **Expoentes negativos e fracionários** 4. $y = \dfrac{1}{x^3}$ 5. $y = 6\sqrt{x}$ 6. $y = \sqrt[3]{x^2}$ 7. $y = \dfrac{5}{x^2} - \dfrac{2}{\sqrt{x}}$ **Reescreva primeiro** 8. $y = (2x + 1)(x - 3)$ 9. $y = \dfrac{x^4 - 3x^2 + 2}{x^2}$ 10. $y = x^\pi + \pi^2$ **Retas tangentes** 11. Encontre a reta tangente a $y = x^3 - 2x$ em $x = 2$. 12. Encontre os pontos em que $y = x^3 - 3x^2$ tem reta tangente horizontal. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $7x^6$ | | 2 | $20x^4$ | | 3 | $12x^3 - 6x^2 + 5$ | | 4 | $-\dfrac{3}{x^4}$ | | 5 | $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$ | | 6 | $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ | | 7 | $-\dfrac{10}{x^3} + \dfrac{1}{x^{3/2}}$ | | 8 | $4x - 5$ | | 9 | $2x - \dfrac{4}{x^3}$ | | 10 | $\pi x^{\pi - 1}$ | | 11 | $y = 10x - 16$ | | 12 | $(0, 0)$ e $(2, -4)$ | ## Resolução passo a passo **1.** Desça o $7$ e subtraia $1$ do expoente: $$y' = 7x^6$$ **2.** A constante $4$ apenas acompanha: $$y' = 4\cdot 5x^4 = 20x^4$$ **3.** Derive termo a termo. A derivada de $5x$ é $5$ e a derivada da constante $-9$ é $0$: $$y' = 12x^3 - 6x^2 + 5$$ **4.** Reescreva como $y = x^{-3}$. Então $-3 - 1 = -4$: $$y' = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4}$$ **5.** Reescreva como $y = 6x^{1/2}$: $$y' = 6\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$$ **6.** Reescreva como $y = x^{2/3}$. Então $\frac{2}{3} - 1 = -\frac{1}{3}$: $$y' = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$ **7.** Reescreva os dois termos como potências: $y = 5x^{-2} - 2x^{-1/2}$. $$y' = -10x^{-3} - 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} = -\frac{10}{x^3} + \frac{1}{x^{3/2}}$$ **8.** Primeiro desenvolva: $(2x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 5x - 3$. $$y' = 4x - 5$$ A derivada de um produto não é o produto das derivadas. Desenvolver evita essa armadilha, ou você pode usar a [regra do produto](/rules/product-rule). **9.** O denominador tem um único termo, então separe a fração: $$y = x^2 - 3 + 2x^{-2} \quad\Rightarrow\quad y' = 2x - 4x^{-3} = 2x - \frac{4}{x^3}$$ **10.** $\pi$ é um expoente constante, então a regra da potência vale para $x^\pi$. O termo $\pi^2 \approx 9.87$ é só um número, então sua derivada é $0$: $$y' = \pi x^{\pi - 1}$$ **11.** O ponto é $y(2) = 8 - 4 = 4$. A inclinação é $y' = 3x^2 - 2$, então $y'(2) = 10$: $$y - 4 = 10(x - 2) \quad\Rightarrow\quad y = 10x - 16$$ **12.** Uma tangente horizontal tem inclinação $0$: $$y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 0 \text{ ou } x = 2$$ Os pontos são $(0, 0)$ e $(2, 8 - 12) = (2, -4)$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Errar o sentido com expoentes negativos.** No exercício 4, $x^{-3}$ vira $-3x^{-4}$, e não $-3x^{-2}$. Subtrair 1 sempre anda para a esquerda na reta numérica. - **Derivar uma raiz sem reescrever.** Escreva $\sqrt[3]{x^2}$ como $x^{2/3}$ antes de começar. - **Derivar um produto fator por fator.** No exercício 8, $(2)(1) = 2$ está errado. Desenvolva ou use a regra do produto. - **Tratar $\pi^2$ como variável.** No exercício 10, $\pi^2$ é uma constante, então sua derivada é $0$, e não $2\pi$. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com números novos a cada vez e correção imediata, faça a [lição de regra da potência](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule) e depois a [prática de regra da potência](/learn/calculus-1/derivative-rules/power-rule-practice). Para mais exemplos e o raciocínio por trás da regra, leia o [guia da regra da potência](/blog/power-rule). Em seguida, tente os [exercícios de regra do produto e do quociente](/practice-problems/product-and-quotient-rules). ## Perguntas frequentes ### O que é a regra da potência para derivadas? Para qualquer número real $n$, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Desça o expoente como coeficiente e depois diminua o expoente em um. Ela vale para expoentes inteiros, negativos e fracionários. ### Como usar a regra da potência com raiz quadrada? Reescreva a raiz como uma potência fracionária, por exemplo $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Depois aplique a regra: $\frac{d}{dx}x^{1/2} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. ### A regra da potência vale para e elevado a x? Não. A regra da potência é para base variável e expoente constante, como $x^3$. Em $e^x$ a variável está no expoente, então você usa $\frac{d}{dx}e^x = e^x$. Para uma constante como $\pi^2$, a derivada é $0$.