# Exercícios de regra de L'Hôpital resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de regra de L'Hôpital com respostas e resoluções completas, cobrindo 0/0, ∞/∞, 0·∞, ∞−∞ e formas exponenciais como 1^∞ e 0^0.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-regra-de-lhopital
Atualizado: 2026-11-06

$$ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 4
- **Pré-requisitos:** As regras básicas de derivação e [limites no infinito](/practice-problems/limits-at-infinity)
- **Ideia principal:** Verifique se é 0/0 ou ∞/∞ e depois derive o numerador e o denominador separadamente
- **Pratique com novos números:** [Lição da regra de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule)

## Pontos principais

- Use a regra só em $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. Verifique a forma toda vez, inclusive antes de uma segunda aplicação.
- Derive o numerador e o denominador separadamente. Não use a regra do quociente.
- Reescreva $0\cdot\infty$ e $\infty-\infty$ como uma única fração primeiro, e trate $1^\infty$, $0^0$ e $\infty^0$ aplicando o logaritmo natural.

Estes **exercícios de regra de L'Hôpital** cobrem as sete indeterminações: $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0\cdot\infty$, $\infty - \infty$, $0^0$, $1^\infty$ e $\infty^0$. O último exercício é uma armadilha em que a regra não se aplica. As respostas vêm logo depois da lista, e em seguida as resoluções completas.

A regra:

$$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)} \quad\text{se o primeiro limite for } \tfrac{0}{0} \text{ ou } \tfrac{\infty}{\infty}$$

Para o enunciado completo e o porquê de funcionar, veja a [página da regra de L'Hôpital](/rules/lhopitals-rule).

## Exercícios

**Formas 0/0**

1. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x} - 1}{\sin x}$
2. $\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{\ln x}{x - 1}$
3. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3}$

**Formas ∞/∞**

4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{e^x}$
5. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$

**Produtos e diferenças**

6. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x\ln x$
7. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x\sin\!\left(\frac{1}{x}\right)$
8. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1}\right)$

**Formas exponenciais**

9. $\displaystyle\lim_{x\to 0^+} x^x$
10. $\displaystyle\lim_{x\to\infty} x^{1/x}$
11. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac{3}{x}\right)^x$

**Verifique antes de começar**

12. $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x^2 + 3}{x + 1}$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $2$ |
| 2 | $1$ |
| 3 | $\dfrac{1}{6}$ |
| 4 | $0$ |
| 5 | $0$ |
| 6 | $0$ |
| 7 | $1$ |
| 8 | $\dfrac{1}{2}$ |
| 9 | $1$ |
| 10 | $1$ |
| 11 | $e^3$ |
| 12 | $3$ (L'Hôpital não se aplica) |

## Resolução passo a passo

**1.** A substituição dá $\frac{0}{0}$. Derive o numerador e o denominador:

$$\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{\cos x} = \frac{2}{1} = 2$$

**2.** A substituição dá $\frac{\ln 1}{0} = \frac{0}{0}$:

$$\lim_{x\to 1}\frac{1/x}{1} = 1$$

**3.** Cada rodada ainda dá $\frac{0}{0}$, então aplique a regra três vezes:

$$\lim_{x\to 0}\frac{x - \sin x}{x^3} = \lim_{x\to 0}\frac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{6x} = \lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{6} = \frac{1}{6}$$

**4.** Esta é $\frac{\infty}{\infty}$. Duas rodadas:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{e^x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{e^x} = 0$$

Exponenciais vencem qualquer potência de $x$.

**5.** De novo $\frac{\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \lim_{x\to\infty}\frac{2\sqrt{x}}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}} = 0$$

Logaritmos perdem para qualquer potência positiva de $x$.

**6.** Esta é $0\cdot(-\infty)$. Passe $x$ para o denominador como $\frac{1}{x}$ para obter $\frac{-\infty}{\infty}$:

$$\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x\to 0^+}(-x) = 0$$

**7.** Esta é $\infty\cdot 0$. Reescreva como $\frac{\sin(1/x)}{1/x}$, que é $\frac{0}{0}$. Faça $t = \frac{1}{x}$, de modo que $t\to 0^+$:

$$\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t} = \lim_{t\to 0^+}\frac{\cos t}{1} = 1$$

**8.** Esta é $\infty - \infty$. Junte em uma única fração:

$$\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1} = \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$$

Isso é $\frac{0}{0}$. Derive, e continua $\frac{0}{0}$, então derive de novo:

$$\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1}{e^x - 1 + xe^x} = \lim_{x\to 0}\frac{e^x}{2e^x + xe^x} = \frac{1}{2}$$

**9.** Esta é $0^0$. Seja $L$ o limite e aplique o logaritmo. O exercício 6 já encontrou este limite:

$$\ln L = \lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0 \quad\Rightarrow\quad L = e^0 = 1$$

**10.** Esta é $\infty^0$. Aplique o logaritmo:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} = 0 \quad\Rightarrow\quad L = 1$$

**11.** Esta é $1^\infty$. Aplique o logaritmo e depois escreva o produto como uma fração $\frac{0}{0}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty} x\ln\!\left(1 + \frac{3}{x}\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{\ln\left(1 + \frac{3}{x}\right)}{1/x}$$

Derive o numerador, $\frac{1}{1 + 3/x}\cdot\left(-\frac{3}{x^2}\right)$, e o denominador, $-\frac{1}{x^2}$:

$$\ln L = \lim_{x\to\infty}\frac{3}{1 + \frac{3}{x}} = 3 \quad\Rightarrow\quad L = e^3$$

**12.** Substitua primeiro: $\frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$. É um número real, então o limite é $3$ e pronto. Usar L'Hôpital aqui daria $\frac{2x}{1}\to 0$, o que está errado, porque a regra só funciona em indeterminações.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Usar a regra do quociente.** L'Hôpital significa $\frac{f'}{g'}$, não $\left(\frac{f}{g}\right)'$. Derive o numerador e o denominador cada um por si.
- **Pular a verificação.** O exercício 12 mostra o que acontece: a regra dá uma resposta errada quando a forma não é indeterminada.
- **Esquecer de desfazer o logaritmo.** Nos exercícios 9 a 11 você encontra primeiro $\ln L$. A resposta do exercício 11 é $e^3$, não $3$.
- **Aplicar a regra direto em um produto.** No exercício 6 é preciso reescrever $x\ln x$ como fração antes de derivar.

## Continue praticando

Estes 12 exercícios usam números fixos. Para prática ilimitada com limites novos a cada vez e correção imediata, experimente a [lição da regra de L'Hôpital](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/lhopitals-rule). Para mais exemplos resolvidos e o raciocínio por trás de cada indeterminação, leia o [guia da regra de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule). Para revisar antes os métodos algébricos, volte aos [exercícios de cálculo de limites](/practice-problems/evaluating-limits).

## Perguntas frequentes

### Quando posso usar a regra de L'Hôpital?

Só quando a substituição direta dá $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$, e o numerador e o denominador são deriváveis perto do ponto. As outras indeterminações precisam ser reescritas em uma dessas duas formas antes.

### Dá para usar a regra de L'Hôpital mais de uma vez?

Sim, desde que o novo limite ainda seja $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$. O exercício 3 abaixo precisa de três rodadas. Verifique a forma antes de cada rodada, porque, quando ela deixa de ser indeterminada, você deve substituir.

### Como usar a regra de L'Hôpital em 1 elevado a infinito?

Chame o limite de $L$ e aplique o logaritmo natural: $\ln L = \lim g(x)\ln f(x)$. Isso transforma a potência em um produto, que você reescreve como fração e resolve com L'Hôpital. Depois $L = e^{\ln L}$. O exercício 11 mostra isso e dá $e^3$.