# Exercícios de regra do produto e do quociente, com respostas > 12 exercícios de regra do produto e regra do quociente com respostas e resolução passo a passo, incluindo produto de três fatores e uma tabela de valores. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-regra-do-produto-e-quociente Atualizado: 2026-11-06 $$ (fg)' = f'g + fg', \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 2 - **Você precisa saber:** A [regra da potência](/practice-problems/power-rule) e as derivadas de $e^x$, $\ln x$, $\sin x$ e $\cos x$ - **Ideia principal:** Produto: derivada da primeira vezes a segunda mais a primeira vezes a derivada da segunda. Quociente: derivada de cima vezes a de baixo menos a de cima vezes a derivada de baixo, sobre a de baixo ao quadrado - **Pratique com novos números:** [Lição de regra do produto](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) ## Pontos principais - Na regra do quociente a ordem importa: $f'g$ vem primeiro, depois subtraia $fg'$. Trocar a ordem inverte o sinal da resposta. - Simplifique o numerador de uma resposta da regra do quociente colocando em evidência fatores comuns como $e^x$ ou uma potência de $x$. - Com três fatores, derive um fator de cada vez e some os três termos. Estes **exercícios de regra do produto e do quociente** começam com produtos de dois fatores, passam para quocientes e terminam com um produto de três fatores, um produto dentro de um quociente e um exercício com tabela de valores. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas. As duas regras: $$(fg)' = f'g + fg' \qquad\qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$$ Para revisar, veja as páginas da [regra do produto](/rules/product-rule) e da [regra do quociente](/rules/quotient-rule), ou o [guia das regras do produto e do quociente](/blog/product-and-quotient-rules). ## Exercícios **Regra do produto** 1. $y = x^2 e^x$ 2. $y = (x^2 + 1)(3x - 2)$ 3. $y = \sqrt{x}\,\ln x$ 4. $y = e^x\cos x$ **Regra do quociente** 5. $y = \dfrac{x}{x + 1}$ 6. $y = \dfrac{2x - 1}{x^2 + 3}$ 7. $y = \dfrac{\sin x}{x}$ 8. $y = \dfrac{\ln x}{x}$ 9. $y = \dfrac{e^x}{x^2}$ **Juntando as duas** 10. $y = x\,e^x\sin x$ 11. $y = \dfrac{x^2 e^x}{x + 1}$ 12. Dados $f(2) = 3$, $f'(2) = -1$, $g(2) = 4$ e $g'(2) = 5$, encontre $(fg)'(2)$ e $\left(\dfrac{f}{g}\right)'(2)$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $(x^2 + 2x)\,e^x$ | | 2 | $9x^2 - 4x + 3$ | | 3 | $\dfrac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$ | | 4 | $e^x(\cos x - \sin x)$ | | 5 | $\dfrac{1}{(x + 1)^2}$ | | 6 | $\dfrac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$ | | 7 | $\dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}$ | | 8 | $\dfrac{1 - \ln x}{x^2}$ | | 9 | $\dfrac{e^x(x - 2)}{x^3}$ | | 10 | $e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$ | | 11 | $\dfrac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$ | | 12 | $(fg)'(2) = 11$, $\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = -\dfrac{19}{16}$ | ## Resolução passo a passo **1.** Seja $f = x^2$ e $g = e^x$, então $f' = 2x$ e $g' = e^x$: $$y' = 2x\cdot e^x + x^2\cdot e^x = (x^2 + 2x)\,e^x$$ **2.** Seja $f = x^2 + 1$ e $g = 3x - 2$: $$y' = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1)(3) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$ Você pode conferir desenvolvendo primeiro: $y = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2$ dá a mesma derivada. **3.** Seja $f = \sqrt{x}$ e $g = \ln x$, então $f' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ e $g' = \frac{1}{x}$: $$y' = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{\ln x}{2\sqrt{x}} + \frac{2}{2\sqrt{x}} = \frac{\ln x + 2}{2\sqrt{x}}$$ Aqui $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{2}{2\sqrt{x}}$. **4.** A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$: $$y' = e^x\cos x + e^x(-\sin x) = e^x(\cos x - \sin x)$$ **5.** Numerador $x$, denominador $x + 1$, e as duas derivadas valem $1$: $$y' = \frac{1\cdot(x + 1) - x\cdot 1}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^2}$$ **6.** Derivada do numerador $2$, derivada do denominador $2x$: $$y' = \frac{2(x^2 + 3) - (2x - 1)(2x)}{(x^2 + 3)^2} = \frac{2x^2 + 6 - 4x^2 + 2x}{(x^2 + 3)^2} = \frac{-2x^2 + 2x + 6}{(x^2 + 3)^2}$$ **7.** Derivada do numerador $\cos x$, derivada do denominador $1$: $$y' = \frac{x\cos x - \sin x\cdot 1}{x^2} = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$ **8.** Derivada do numerador $\frac{1}{x}$, derivada do denominador $1$: $$y' = \frac{\frac{1}{x}\cdot x - \ln x\cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ **9.** Derivada do numerador $e^x$, derivada do denominador $2x$: $$y' = \frac{e^x x^2 - e^x\cdot 2x}{x^4} = \frac{x e^x(x - 2)}{x^4} = \frac{e^x(x - 2)}{x^3}$$ **10.** Três fatores, então três termos. Derive $x$, depois $e^x$, depois $\sin x$, um de cada vez: $$y' = 1\cdot e^x\sin x + x\cdot e^x\sin x + x e^x\cdot\cos x = e^x(\sin x + x\sin x + x\cos x)$$ **11.** O numerador é um produto. Pelo exercício 1, sua derivada é $(x^2 + 2x)e^x$. Agora use a regra do quociente: $$y' = \frac{(x^2 + 2x)e^x(x + 1) - x^2e^x\cdot 1}{(x + 1)^2}$$ Coloque $e^x$ em evidência no numerador e desenvolva: $(x^2 + 2x)(x + 1) - x^2 = x^3 + 2x^2 + 2x = x(x^2 + 2x + 2)$. Assim $$y' = \frac{x e^x(x^2 + 2x + 2)}{(x + 1)^2}$$ **12.** Substitua os valores em cada regra: $$(fg)'(2) = f'(2)g(2) + f(2)g'(2) = (-1)(4) + (3)(5) = 11$$ $$\left(\frac{f}{g}\right)'(2) = \frac{f'(2)g(2) - f(2)g'(2)}{g(2)^2} = \frac{(-1)(4) - (3)(5)}{16} = -\frac{19}{16}$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Multiplicar as derivadas.** $(x^2e^x)' \ne 2x\cdot e^x$. A regra do produto sempre dá dois termos. - **Subtrair na ordem errada.** No exercício 6, escrever $(2x - 1)(2x) - 2(x^2 + 3)$ no numerador dá o valor certo em módulo, mas com o sinal trocado. - **Esquecer de elevar o denominador ao quadrado.** O denominador da regra do quociente é $g^2$, e não $g$. - **Desenvolver quando fatorar é mais fácil.** No exercício 9, coloque $xe^x$ em evidência no numerador para poder cancelar um $x$. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com funções novas e correção imediata, faça a [lição de regra do produto](/learn/calculus-1/derivative-rules/product-rule) e a [lição de regra do quociente](/learn/calculus-1/derivative-rules/quotient-rule). Quando os próprios fatores tiverem algo dentro, como $x^2\sin(3x)$, siga para os [exercícios de regra da cadeia](/practice-problems/chain-rule). ## Perguntas frequentes ### Quando usar a regra do produto e quando usar a regra do quociente? Use a regra do produto quando duas funções estão multiplicadas, como $x^2e^x$, e a regra do quociente quando uma está dividida pela outra, como $\frac{\sin x}{x}$. Se o denominador for uma única potência de $x$, muitas vezes dá para reescrever e usar a regra da potência. ### Como decorar a regra do quociente? Repita: "a derivada da de cima vezes a de baixo, menos a de cima vezes a derivada da de baixo, tudo sobre a de baixo ao quadrado". A de baixo é o denominador $g$ e a de cima é o numerador $f$: $\frac{g f' - f g'}{g^2}$. ### Qual é a regra do produto para três funções? $(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$. Derive um fator de cada vez, mantenha os outros dois e some os três resultados. O exercício 10 abaixo usa essa regra.