# Exercícios de série de Taylor resolvidos, com respostas

> 12 exercícios de séries de Taylor e de Maclaurin com respostas: construção de séries, polinômios de Taylor, estimativas com erro, limites e somas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-serie-de-taylor
Atualizado: 2026-11-06

$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa
- **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, Unidade 10
- **Você precisa saber:** Derivadas, fatoriais e [séries de potências](/practice-problems/power-series)
- **Ideia principal:** Iguale as derivadas de $f$ em um ponto e depois use a série para aproximar, calcular limites ou somar
- **Pratique com novos números:** [Lição de série de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series)

## Pontos principais

- O coeficiente de $(x - a)^n$ é $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$. Divida pelo fatorial sempre.
- Construa novas séries a partir das conhecidas ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$, $\frac{1}{1 - x}$) substituindo, multiplicando ou integrando, em vez de calcular muitas derivadas.
- Leia derivadas a partir de uma série: $f^{(n)}(0) = n!\times$ (coeficiente de $x^n$).

Estes **exercícios de série de Taylor** cobrem a construção de séries de Maclaurin e de Taylor, polinômios de Taylor, estimativas com limitação do erro e o uso de séries para calcular limites, derivadas e somas. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

A fórmula:

$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots$$

Para o raciocínio e mais exemplos, leia o [guia de série de Taylor](/blog/taylor-series).

## Exercícios

**Construindo séries**

1. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de $e^{2x}$.
2. Encontre os três primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de $\cos(x^2)$.
3. Encontre os quatro primeiros termos não nulos da série de Maclaurin de $x\,e^{-x}$.
4. Encontre a série de Taylor de $\ln x$ centrada em $a = 1$.
5. Encontre o polinômio de Taylor de grau 3 de $\sqrt{x}$ centrado em $a = 4$.
6. Use a série de $\frac{1}{1 + x^2}$ para encontrar a série de Maclaurin de $\arctan x$.

**Estimativas**

7. Use o polinômio de Taylor de grau 2 do exercício 5 para estimar $\sqrt{4.1}$.
8. Estime $\sin(0.5)$ com $x - \frac{x^3}{6}$ e limite o erro.

**Usando séries**

9. Encontre $f^{(10)}(0)$ para $f(x) = x^2\cos x$.
10. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x - x}{x^3}$.
11. Calcule $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{e^x - 1 - x}{x^2}$.
12. Calcule a soma $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{(2n)!}$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$ |
| 2 | $1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24}$ |
| 3 | $x - x^2 + \frac{x^3}{2} - \frac{x^4}{6}$ |
| 4 | $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}(x - 1)^n}{n}$ |
| 5 | $2 + \frac{x - 4}{4} - \frac{(x - 4)^2}{64} + \frac{(x - 4)^3}{512}$ |
| 6 | $x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ |
| 7 | $\approx 2.0248438$ |
| 8 | $\approx 0.479167$, erro menor que $0.00027$ |
| 9 | $90$ |
| 10 | $-\frac{1}{6}$ |
| 11 | $\frac{1}{2}$ |
| 12 | $-1$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Troque $x$ por $2x$ em $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$:

$$1 + 2x + \frac{4x^2}{2} + \frac{8x^3}{6} = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$$

**2.** Troque $x$ por $x^2$ em $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \cdots$:

$$1 - \frac{x^4}{2} + \frac{x^8}{24} - \cdots$$

**3.** $e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6} + \cdots$. Multiplique cada termo por $x$.

**4.** Para $f(x) = \ln x$: $f(1) = 0$, $f'(1) = 1$, $f''(1) = -1$, $f'''(1) = 2$ e, em geral, $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n - 1)!$. Divida por $n!$ para obter $\frac{(-1)^{n+1}}{n}$:

$$\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots$$

**5.** Calcule as derivadas em $x = 4$:

| | Valor em 4 | Divida por $n!$ |
| --- | --- | --- |
| $f = x^{1/2}$ | $2$ | $2$ |
| $f' = \frac{1}{2}x^{-1/2}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
| $f'' = -\frac{1}{4}x^{-3/2}$ | $-\frac{1}{32}$ | $-\frac{1}{64}$ |
| $f''' = \frac{3}{8}x^{-5/2}$ | $\frac{3}{256}$ | $\frac{1}{512}$ |

**6.** $\frac{1}{1 + x^2} = 1 - x^2 + x^4 - \cdots$ para $|x| < 1$. Integre termo a termo de $0$ a $x$:

$$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$$

**7.** Com $x - 4 = 0.1$:

$$2 + \frac{0.1}{4} - \frac{0.01}{64} = 2 + 0.025 - 0.00015625 = 2.02484375$$

O valor real é $2.0248457\ldots$, então a estimativa erra por cerca de $0.000002$.

**8.** $0.5 - \frac{0.125}{6} \approx 0.479167$. A série é alternada com termos decrescentes, então o erro é menor que o próximo termo, $\frac{0.5^5}{120} \approx 0.00026$. O valor real é $0.479426$, uma diferença de $0.000259$.

**9.** $x^2\cos x = x^2 - \frac{x^4}{2!} + \frac{x^6}{4!} - \frac{x^8}{6!} + \frac{x^{10}}{8!} - \cdots$. O coeficiente de $x^{10}$ é $\frac{1}{8!}$, e ele também é igual a $\frac{f^{(10)}(0)}{10!}$:

$$f^{(10)}(0) = \frac{10!}{8!} = 10\cdot 9 = 90$$

**10.** $\sin x - x = -\frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \cdots$. Divida por $x^3$: $-\frac{1}{6} + \frac{x^2}{120} - \cdots \to -\frac{1}{6}$.

**11.** $e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \cdots$. Divida por $x^2$: $\frac{1}{2} + \frac{x}{6} + \cdots \to \frac{1}{2}$.

**12.** Esta é a série do cosseno $\sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ com $x = \pi$, então a soma é $\cos\pi = -1$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Esquecer o fatorial.** O coeficiente é $\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$, e não $f^{(n)}(a)$. No exercício 5, $f''(4) = -\frac{1}{32}$, mas o coeficiente é $-\frac{1}{64}$.
- **Calcular derivadas quando a substituição resolve.** Derivar $\cos(x^2)$ oito vezes é demorado. Substitua na série conhecida.
- **Usar $x$ em vez de $x - a$.** Uma série de Taylor em $a = 4$ usa potências de $(x - 4)$.
- **Confundir qual coeficiente dá qual derivada.** No exercício 9, o coeficiente de $x^{10}$ vem do termo $n = 4$ do cosseno, e você multiplica por $10!$.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a [lição de polinômios de Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/taylor-polynomials), a [lição de série de Maclaurin](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/maclaurin-series) e a [lição de estimativas com Taylor](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/estimating-with-taylor). Depois tente os [exercícios de curvas paramétricas e polares](/practice-problems/parametric-and-polar), que fecham a mesma unidade de Cálculo 2.

## Perguntas frequentes

### Qual é a diferença entre série de Taylor e série de Maclaurin?

Uma série de Maclaurin é uma série de Taylor centrada em $a = 0$. Séries de Taylor podem ser centradas em qualquer ponto, como nos exercícios 4 e 5 abaixo.

### Quais séries de Maclaurin devo decorar?

$e^x = \sum\frac{x^n}{n!}$, $\sin x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$, $\cos x = \sum\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ e $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$. A maioria das outras séries que caem em prova sai dessas por substituição, multiplicação ou integração.

### Qual é a precisão de um polinômio de Taylor?

Em uma série alternada, o erro é no máximo o primeiro termo desprezado. Em geral, a estimativa do resto de Lagrange diz que o erro é no máximo $\frac{M}{(n+1)!}|x - a|^{n+1}$, em que $M$ limita $|f^{(n+1)}|$ entre $a$ e $x$. Veja o [teorema de Taylor](/theorems/taylors-theorem).