# Exercícios de séries de potências resolvidos, com respostas > 12 exercícios de séries de potências com respostas: raio e intervalo de convergência, análise dos extremos e séries construídas a partir de 1/(1 − x). Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-series-de-potencias Atualizado: 2026-11-06 $$ \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n, \quad |x| < 1 $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, Unidade 10 - **Você precisa saber:** O [teste da razão](/rules/ratio-test) e os outros [testes de convergência](/practice-problems/convergence-tests) - **Ideia principal:** Use o teste da razão para achar o raio e depois teste cada extremo separadamente - **Pratique com novos números:** [Lição de séries de potências e raio](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius) ## Pontos principais - Aplique o teste da razão a $|a_n(x - c)^n|$ e resolva "limite $< 1$" para $x$ para obter o raio. - O teste da razão não diz nada nos extremos. Substitua cada um e use outro teste. - Construa novas séries a partir de $\frac{1}{1 - x}$ substituindo, multiplicando por potências de $x$, derivando ou integrando. O raio continua o mesmo. Estes **exercícios de séries de potências** cobrem raio e intervalo de convergência, análise dos extremos e a construção de novas séries a partir da série geométrica. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. As duas ferramentas: $$\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| < 1 \quad\text{para o raio}, \qquad \frac{1}{1 - x} = \sum_{n=0}^{\infty}x^n \quad\text{para construir séries}$$ Para mais exemplos, leia o [guia de séries de potências](/blog/power-series). ## Exercícios **Raio e intervalo de convergência** 1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$ 2. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}n!\,x^n$ 4. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x - 2)^n}{3^n}$ 5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n^2}$ 6. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{4^n}$ 7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}n(x + 1)^n$ 8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x - 1)^n}{n}$ **Construindo séries** 9. Encontre uma série de potências para $\dfrac{1}{1 - 3x}$ e seu raio. 10. Encontre uma série de potências para $\dfrac{x}{1 + x^2}$ e seu raio. 11. Derive $\frac{1}{1 - x}$ para obter uma série para $\frac{1}{(1 - x)^2}$. Use-a para calcular $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$. 12. Integre uma série para $\frac{1}{1 + x}$ para obter uma série para $\ln(1 + x)$. ## Respostas | Exercício | Raio | Intervalo ou resposta | | --- | --- | --- | | 1 | $1$ | $[-1, 1)$ | | 2 | $\infty$ | $(-\infty, \infty)$ | | 3 | $0$ | Só $x = 0$ | | 4 | $3$ | $(-1, 5)$ | | 5 | $1$ | $[-1, 1]$ | | 6 | $2$ | $(-2, 2)$ | | 7 | $1$ | $(-2, 0)$ | | 8 | $\frac{1}{2}$ | $[0, 1)$ | | 9 | $\frac{1}{3}$ | $\sum 3^n x^n$ | | 10 | $1$ | $\sum(-1)^n x^{2n+1}$ | | 11 | $1$ | $\sum n x^{n-1}$; a soma é $2$ | | 12 | $1$ | $\sum\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$ | ## Resolução passo a passo **1.** Razão: $\left|\frac{x^{n+1}}{n + 1}\cdot\frac{n}{x^n}\right| = \frac{n}{n + 1}|x| \to |x|$. Então $|x| < 1$ e $R = 1$. Em $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ diverge. Em $x = -1$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge pelo teste da série alternada. Intervalo $[-1, 1)$. **2.** Razão: $\frac{|x|}{n + 1} \to 0 < 1$ para todo $x$. Então $R = \infty$. Esta é a série de $e^x$. **3.** Razão: $(n + 1)|x| \to \infty$ para todo $x \neq 0$. A série só converge no centro. **4.** É uma série geométrica de razão $\frac{x - 2}{3}$. Ela converge quando $|x - 2| < 3$, ou seja, $-1 < x < 5$. Nos dois extremos os termos são $(\pm 1)^n$, que não tendem a $0$, então ambos divergem. **5.** Razão: $\frac{n^2}{(n + 1)^2}|x| \to |x|$, então $R = 1$. Em $x = \pm 1$, $\sum\frac{(\pm 1)^n}{n^2}$ converge absolutamente, já que $\sum\frac{1}{n^2}$ converge. Os dois extremos estão incluídos. **6.** É uma série geométrica de razão $-\frac{x^2}{4}$. Ela converge quando $\frac{x^2}{4} < 1$, ou seja, $|x| < 2$. Em $x = \pm 2$ os termos são $(-1)^n$, e a série diverge. **7.** Razão: $\frac{n + 1}{n}|x + 1| \to |x + 1|$, então a série converge para $|x + 1| < 1$, ou seja, $-2 < x < 0$. Nos dois extremos os termos $n(\pm 1)^n$ crescem, então ambos divergem. **8.** Razão: $\frac{n}{n + 1}|2x - 1| \to |2x - 1|$. Resolva $|2x - 1| < 1$: $0 < x < 1$, com centro $\frac{1}{2}$ e $R = \frac{1}{2}$. Em $x = 1$: $\sum\frac{1}{n}$ diverge. Em $x = 0$: $\sum\frac{(-1)^n}{n}$ converge. Intervalo $[0, 1)$. **9.** Troque $x$ por $3x$ na série geométrica: $$\frac{1}{1 - 3x} = \sum_{n=0}^{\infty}(3x)^n = \sum_{n=0}^{\infty}3^n x^n, \quad |3x| < 1 \Rightarrow R = \frac{1}{3}$$ **10.** Troque $x$ por $-x^2$ e depois multiplique por $x$: $$\frac{x}{1 + x^2} = x\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n+1}, \quad |x| < 1$$ **11.** Derive os dois lados de $\frac{1}{1 - x} = \sum x^n$: $$\frac{1}{(1 - x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty}n x^{n-1}$$ Multiplique por $x$: $\sum n x^n = \frac{x}{(1 - x)^2}$. Em $x = \frac{1}{2}$, isso dá $\frac{1/2}{1/4} = 2$. **12.** $\frac{1}{1 + x} = \sum(-1)^n x^n$. Integre de $0$ a $x$: $$\ln(1 + x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{n+1}}{n + 1} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots$$ Deslocando o índice, chega-se à forma da tabela. O raio continua sendo $1$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Pular os extremos.** Os exercícios 1, 5 e 8 têm todos $R = 1$ ou $R = \frac{1}{2}$, mas comportamentos diferentes nos extremos. - **Esquecer o centro.** No exercício 4 o centro é $2$, então o intervalo é $2 \pm 3$, e não $\pm 3$. - **Raio errado por causa do $2x$.** No exercício 8, $|2x - 1| < 1$ significa $|x - \frac{1}{2}| < \frac{1}{2}$, então $R = \frac{1}{2}$, e não $1$. - **Deixar $x$ dentro do limite.** No teste da razão, $|x|$ é uma constante. Calcule o limite em $n$ e depois resolva para $x$. ## Continue praticando Para séries ilimitadas com correção imediata, faça a [lição de séries de potências e raio](/learn/calculus-2/power-series-parametric-polar/power-series-and-radius). Em seguida, aprenda a construir a série de qualquer função nos [exercícios de série de Taylor](/practice-problems/taylor-series). ## Perguntas frequentes ### Qual é a diferença entre raio e intervalo de convergência? O raio $R$ é a distância do centro até onde a série converge. O intervalo é o conjunto exato de valores de $x$, incluindo quais extremos fazem parte dele. Duas séries com o mesmo raio podem ter intervalos diferentes, como mostram os exercícios 1 e 5. ### Por que é preciso analisar os extremos separadamente? Num extremo, o limite do teste da razão é exatamente $1$, o que não dá nenhuma informação. A série vira uma série numérica comum, que pode convergir ou divergir. ### Derivar uma série de potências muda o raio? Não. Derivar ou integrar termo a termo mantém o mesmo raio. Pode mudar o que acontece nos extremos, então analise-os de novo.