# Exercícios de somas de Riemann resolvidos, com respostas > 10 exercícios de somas de Riemann com respostas: somas à esquerda, à direita, do ponto médio e dos trapézios, tabelas, estimativas e limites de somas. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-somas-de-riemann Atualizado: 2026-11-06 $$ \int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\,\Delta x, \quad \Delta x = \frac{b-a}{n} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 10, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 6 - **Você precisa saber:** Calcular valores de funções e notação de somatório - **Ideia principal:** Some as áreas de retângulos finos: altura vezes largura - **Pratique com novos números:** [Lição de somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) ## Pontos principais - Calcule $\Delta x = \frac{b-a}{n}$ primeiro e liste os pontos de amostragem antes de calcular qualquer valor. - Para uma função crescente, a soma à esquerda subestima e a soma à direita superestima. Para uma função decrescente, é o contrário. - Um limite de somas de Riemann é uma integral definida. Identifique $\Delta x$ e a função para achar a integral. Estes **exercícios de somas de Riemann** cobrem somas à esquerda, à direita, do ponto médio e dos trapézios, tabelas com larguras diferentes, superestimativas e subestimativas, e a transformação de um limite de somas em integral. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas. A montagem básica: $$\Delta x = \frac{b-a}{n}, \qquad \text{soma} = \Delta x\,\big(f(x_1^*) + f(x_2^*) + \cdots + f(x_n^*)\big)$$ A soma à esquerda usa a extremidade esquerda de cada subintervalo, a soma à direita usa a extremidade direita e a soma do ponto médio usa o meio. Para entender as ideias por trás, leia o [guia de somas de Riemann](/blog/riemann-sums). ## Exercícios **Uma função, quatro métodos.** Use $f(x) = x^2$ em $[0, 2]$ com $n = 4$. 1. Encontre a soma de Riemann à esquerda $L_4$. 2. Encontre a soma de Riemann à direita $R_4$. 3. Encontre a soma do ponto médio $M_4$. 4. Encontre a soma dos trapézios $T_4$ e compare as quatro com o valor exato $\int_0^2 x^2\,dx = \frac{8}{3}$. **Superestimativa ou subestimativa** 5. Encontre a soma à esquerda $L_4$ para $f(x) = \frac{1}{x}$ em $[1, 3]$. Ela superestima ou subestima $\ln 3$? 6. A velocidade de um carro é medida em alguns instantes: | $t$ (s) | 0 | 2 | 5 | 6 | | --- | --- | --- | --- | --- | | $v(t)$ (m/s) | 10 | 14 | 20 | 18 | Estime a distância percorrida de $t = 0$ a $t = 6$ com uma soma à esquerda, uma soma à direita e uma soma dos trapézios. 7. Para $f(x) = x^2$ em $[0, 2]$, explique por que $M_4 < \frac{8}{3} < T_4$. **Limites de somas** 8. Escreva $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{3}{n}\left(1 + \frac{3i}{n}\right)^2$ como uma integral definida e calcule-a. 9. Encontre a soma à direita $R_n$ para $f(x) = x$ em $[0, 2]$ em forma fechada e depois calcule o limite quando $n \to \infty$. 10. Estime $\int_0^{\pi}\sin x\,dx$ com uma soma do ponto médio, $n = 4$. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $L_4 = 1.75$ | | 2 | $R_4 = 3.75$ | | 3 | $M_4 = 2.625$ | | 4 | $T_4 = 2.75$; valor exato $\approx 2.667$ | | 5 | $L_4 = \frac{77}{60} \approx 1.283$, uma superestimativa | | 6 | Esquerda $82$ m, direita $106$ m, trapézios $94$ m | | 7 | $x^2$ tem concavidade para cima | | 8 | $\int_1^4 x^2\,dx = 21$ | | 9 | $R_n = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$ | | 10 | $\approx 2.052$ (o valor exato é $2$) | ## Resolução passo a passo **1.** $\Delta x = \frac{2 - 0}{4} = 0.5$, então os pontos são $0, 0.5, 1, 1.5, 2$. A soma à esquerda usa os quatro primeiros: $$L_4 = 0.5\,(0 + 0.25 + 1 + 2.25) = 0.5(3.5) = 1.75$$ **2.** A soma à direita usa os quatro últimos pontos: $$R_4 = 0.5\,(0.25 + 1 + 2.25 + 4) = 0.5(7.5) = 3.75$$ **3.** Os pontos médios são $0.25, 0.75, 1.25, 1.75$. Seus quadrados são $0.0625, 0.5625, 1.5625, 3.0625$, que somam $5.25$: $$M_4 = 0.5(5.25) = 2.625$$ **4.** Com larguras iguais, a soma dos trapézios é a média das somas à esquerda e à direita: $$T_4 = \frac{1.75 + 3.75}{2} = 2.75$$ O valor exato $\frac{8}{3} \approx 2.667$ fica entre $M_4$ e $T_4$. A soma do ponto médio é a mais próxima. **5.** $\Delta x = 0.5$ e os pontos à esquerda são $1, 1.5, 2, 2.5$: $$L_4 = 0.5\left(1 + \tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} + \tfrac{2}{5}\right) = 0.5\cdot\frac{77}{30} = \frac{77}{60} \approx 1.283$$ Como $\frac{1}{x}$ é decrescente, a extremidade esquerda de cada subintervalo é o ponto mais alto, então todo retângulo passa por cima da curva. É uma superestimativa de $\ln 3 \approx 1.099$. **6.** As larguras são $2$, $3$ e $1$. Multiplique cada largura pela altura correta: - Esquerda: $2(10) + 3(14) + 1(20) = 82$ m - Direita: $2(14) + 3(20) + 1(18) = 106$ m - Trapézios: $2\cdot\frac{10+14}{2} + 3\cdot\frac{14+20}{2} + 1\cdot\frac{20+18}{2} = 24 + 51 + 19 = 94$ m **7.** Uma curva com concavidade para cima se curva para cima, então o lado superior de cada trapézio fica acima da curva e $T_4$ fica grande demais. Cada retângulo do ponto médio tem a mesma área que o trapézio sob a reta tangente nesse ponto médio, e uma curva com concavidade para cima fica acima das suas retas tangentes, então $M_4$ fica pequeno demais. **8.** Compare com o padrão $\Delta x = \frac{3}{n}$ e $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$. O intervalo começa em $1$ e tem comprimento $3$, então é $[1, 4]$, e a função é $x^2$: $$\int_1^4 x^2\,dx = \frac{4^3 - 1^3}{3} = \frac{63}{3} = 21$$ **9.** $\Delta x = \frac{2}{n}$ e $x_i = \frac{2i}{n}$. Use $\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$: $$R_n = \sum_{i=1}^{n}\frac{2}{n}\cdot\frac{2i}{n} = \frac{4}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} = \frac{2(n+1)}{n} \to 2$$ Isso coincide com a área do triângulo $\frac{1}{2}(2)(2) = 2$. **10.** $\Delta x = \frac{\pi}{4}$, e os pontos médios são $\frac{\pi}{8}, \frac{3\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}, \frac{7\pi}{8}$. Seus senos valem cerca de $0.3827, 0.9239, 0.9239, 0.3827$, que somam cerca de $2.6131$: $$M_4 \approx \frac{\pi}{4}(2.6131) \approx 2.052$$ Como $\sin x$ tem concavidade para baixo em $[0, \pi]$, a soma do ponto médio superestima o valor exato $2$. ## Erros comuns nestes exercícios - **Usar $n + 1$ alturas.** Uma soma à esquerda ou à direita com $n = 4$ tem exatamente quatro retângulos. Liste os pontos e risque o que você não vai usar. - **Supor larguras iguais numa tabela.** No exercício 6 os intervalos são $2$, $3$ e $1$. Usar um único $\Delta x$ dá a resposta errada. - **Confundir as regras de superestimativa e subestimativa.** Esquerda e direita dependem de a função ser crescente ou decrescente. Ponto médio e trapézios dependem da concavidade. - **Ler errado o intervalo num limite.** No exercício 8, $x_i = 1 + \frac{3i}{n}$ significa que o intervalo começa em $1$, e não em $0$. ## Continue praticando Para somas ilimitadas com funções novas e correção imediata, faça a [lição de somas de Riemann](/learn/calculus-1/integrals/riemann-sums) e a [lição de soma dos trapézios](/learn/calculus-1/integrals/trapezoid-sums). Depois veja como o limite dessas somas vira uma resposta exata nos [exercícios de integral definida](/practice-problems/definite-integrals) e nos [exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo](/practice-problems/fundamental-theorem-of-calculus). ## Perguntas frequentes ### Como saber se uma soma de Riemann superestima ou subestima a integral? Para as somas à esquerda e à direita, veja se a função é crescente ou decrescente. Para as somas do ponto médio e dos trapézios, veja a concavidade: se o gráfico tem concavidade para cima, a soma dos trapézios fica grande demais e a do ponto médio fica pequena demais. ### Qual é a diferença entre a regra dos trapézios e uma soma de Riemann? Uma soma de Riemann usa retângulos. A regra dos trapézios usa trapézios, que acompanham a inclinação da curva. Com larguras iguais, a soma dos trapézios é a média das somas à esquerda e à direita. ### As somas de Riemann precisam ter larguras iguais? Não. Com dados em uma tabela, as larguras são os intervalos que a tabela dá. Multiplique cada altura pela sua própria largura, como no exercício 6.