# Exercícios de substituição trigonométrica, com respostas

> 12 exercícios de substituição trigonométrica com respostas e resolução completa para √(a²−x²), √(a²+x²), √(x²−a²) e completamento de quadrado.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-substituicao-trigonometrica
Atualizado: 2026-11-06

$$ \sqrt{a^2 - x^2}:\ x = a\sin\theta \quad \sqrt{a^2 + x^2}:\ x = a\tan\theta \quad \sqrt{x^2 - a^2}:\ x = a\sec\theta $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resolução completa
- **Nível:** Cálculo 2
- **Você precisa saber:** [Integrais trigonométricas](/practice-problems/trig-integrals) e as identidades pitagóricas
- **Ideia principal:** Escolha $x$ de modo que a expressão dentro da raiz vire um quadrado perfeito de uma função trigonométrica
- **Pratique com novos números:** [Lição de substituição trigonométrica](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution)

## Pontos principais

- Identifique a forma: $a^2 - x^2$ usa $x = a\sin\theta$, $a^2 + x^2$ usa $x = a\tan\theta$ e $x^2 - a^2$ usa $x = a\sec\theta$.
- Substitua também o $dx$: $x = a\sin\theta$ dá $dx = a\cos\theta\,d\theta$.
- Desenhe um triângulo retângulo a partir da substituição para voltar de $\theta$ para $x$.

Estes **exercícios de substituição trigonométrica** cobrem as três formas padrão, alguns casos de aplicação direta de fórmula, integrais definidas e completamento de quadrado. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm antes para você conferir rápido, depois as resoluções completas.

Escolha a substituição pela forma dentro da raiz:

| Expressão | Substituição | Identidade usada |
| --- | --- | --- |
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $x = a\sin\theta$ | $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $x = a\tan\theta$ | $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $x = a\sec\theta$ | $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ |

## Exercícios

**Aplicação direta de fórmula**

1. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
2. $\displaystyle\int\frac{1}{9 + x^2}\,dx$
3. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x^2 + 9}}\,dx$

**Substituições completas**

4. $\displaystyle\int\sqrt{1 - x^2}\,dx$
5. $\displaystyle\int\frac{x^2}{\sqrt{9 - x^2}}\,dx$
6. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2\sqrt{4 - x^2}}\,dx$
7. $\displaystyle\int\frac{1}{(x^2 + 4)^{3/2}}\,dx$
8. $\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}\,dx$ para $x > 1$

**Integrais definidas**

9. $\displaystyle\int_0^1\sqrt{1 - x^2}\,dx$
10. $\displaystyle\int_0^2\frac{1}{x^2 + 4}\,dx$

**Complete o quadrado primeiro**

11. $\displaystyle\int\frac{1}{x^2 + 2x + 5}\,dx$
12. $\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{3 - 2x - x^2}}\,dx$

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $\arcsin\dfrac{x}{2} + C$ |
| 2 | $\dfrac{1}{3}\arctan\dfrac{x}{3} + C$ |
| 3 | $\ln\left\lvert x + \sqrt{x^2 + 9}\right\rvert + C$ |
| 4 | $\dfrac{1}{2}\left(\arcsin x + x\sqrt{1 - x^2}\right) + C$ |
| 5 | $\dfrac{9}{2}\arcsin\dfrac{x}{3} - \dfrac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$ |
| 6 | $-\dfrac{\sqrt{4 - x^2}}{4x} + C$ |
| 7 | $\dfrac{x}{4\sqrt{x^2 + 4}} + C$ |
| 8 | $\sqrt{x^2 - 1} - \operatorname{arcsec} x + C$ |
| 9 | $\dfrac{\pi}{4}$ |
| 10 | $\dfrac{\pi}{8}$ |
| 11 | $\dfrac{1}{2}\arctan\dfrac{x + 1}{2} + C$ |
| 12 | $\arcsin\dfrac{x + 1}{2} + C$ |

## Resolução passo a passo

**1.** Seja $x = 2\sin\theta$, então $dx = 2\cos\theta\,d\theta$ e $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$. A integral vira $\int d\theta = \theta$:

$$\arcsin\frac{x}{2} + C$$

**2.** Seja $x = 3\tan\theta$, então $dx = 3\sec^2\theta\,d\theta$ e $9 + x^2 = 9\sec^2\theta$:

$$\int\frac{3\sec^2\theta}{9\sec^2\theta}\,d\theta = \frac{\theta}{3} + C = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**3.** Seja $x = 3\tan\theta$, então $\sqrt{x^2 + 9} = 3\sec\theta$ e a integral vira $\int\sec\theta\,d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta|$. Pelo triângulo, $\sec\theta = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3}$ e $\tan\theta = \frac{x}{3}$. O $\ln 3$ que aparece se junta à constante:

$$\ln\left|x + \sqrt{x^2 + 9}\right| + C$$

**4.** Seja $x = \sin\theta$, então a integral é $\int\cos^2\theta\,d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin\theta\cos\theta}{2}$. Com $\sin\theta = x$ e $\cos\theta = \sqrt{1 - x^2}$, você chega à resposta da tabela. Veja a [integral de √(1 − x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).

**5.** Seja $x = 3\sin\theta$. Então $x^2 = 9\sin^2\theta$, $dx = 3\cos\theta\,d\theta$ e $\sqrt{9 - x^2} = 3\cos\theta$:

$$\int 9\sin^2\theta\,d\theta = \frac{9}{2}\left(\theta - \sin\theta\cos\theta\right) + C$$

Como $\sin\theta\cos\theta = \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$, isso dá $\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3} - \frac{x}{2}\sqrt{9 - x^2} + C$.

**6.** Seja $x = 2\sin\theta$. Então $x^2 = 4\sin^2\theta$ e $\sqrt{4 - x^2} = 2\cos\theta$:

$$\int\frac{2\cos\theta}{4\sin^2\theta\cdot 2\cos\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\csc^2\theta\,d\theta = -\frac{\cot\theta}{4} + C$$

Pelo triângulo, $\cot\theta = \frac{\sqrt{4 - x^2}}{x}$.

**7.** Seja $x = 2\tan\theta$. Então $(x^2 + 4)^{3/2} = 8\sec^3\theta$ e $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$:

$$\int\frac{2\sec^2\theta}{8\sec^3\theta}\,d\theta = \frac{1}{4}\int\cos\theta\,d\theta = \frac{\sin\theta}{4} + C$$

Pelo triângulo, $\sin\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}$.

**8.** Seja $x = \sec\theta$, então $dx = \sec\theta\tan\theta\,d\theta$ e $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$:

$$\int\frac{\tan\theta}{\sec\theta}\sec\theta\tan\theta\,d\theta = \int\tan^2\theta\,d\theta = \tan\theta - \theta + C$$

Com $\tan\theta = \sqrt{x^2 - 1}$ e $\theta = \operatorname{arcsec} x$, você chega à resposta.

**9.** Use o exercício 4: $\frac{1}{2}\left(\arcsin 1 + 0\right) - 0 = \frac{\pi}{4}$. É um quarto do círculo unitário.

**10.** Use $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$:

$$\frac{1}{2}\arctan 1 - \frac{1}{2}\arctan 0 = \frac{\pi}{8}$$

**11.** Complete o quadrado: $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$. Com $u = x + 1$, fica $\int\frac{du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{u}{2}$.

**12.** Complete o quadrado: $3 - 2x - x^2 = 4 - (x + 1)^2$. Com $u = x + 1$, fica $\int\frac{du}{\sqrt{4 - u^2}} = \arcsin\frac{u}{2}$.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Escolher a substituição errada.** $\sqrt{9 + x^2}$ pede $\tan$, e não $\sin$. Compare o padrão de sinais com a tabela acima.
- **Esquecer de substituir o $dx$.** Com $x = 2\tan\theta$, $dx = 2\sec^2\theta\,d\theta$. Deixar o $dx$ como está estraga todos os passos seguintes.
- **Deixar a resposta em $\theta$.** Uma integral indefinida em $x$ precisa de uma resposta em $x$. Use o triângulo.
- **Usar substituição trigonométrica quando a substituição simples resolve.** $\int x\sqrt{4 - x^2}\,dx$ sai em uma linha com $u = 4 - x^2$.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, faça a [lição de substituição trigonométrica](/learn/calculus-2/integration-techniques/trig-substitution) e a [lição de escolha da estratégia](/learn/calculus-2/integration-techniques/choosing-a-strategy). Para exemplos resolvidos, leia o [guia de substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution). Para funções racionais sem raízes, siga para os [exercícios de frações parciais](/practice-problems/partial-fractions).

## Perguntas frequentes

### Quando usar substituição trigonométrica?

Use quando aparecer $\sqrt{a^2 - x^2}$, $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{x^2 - a^2}$ ou $a^2 + x^2$ elevado a uma potência, e uma substituição simples não resolver. Se houver um fator $x$ fora da raiz, como em $\int x\sqrt{1 - x^2}\,dx$, tente primeiro a substituição simples.

### Como voltar para x depois da substituição trigonométrica?

Desenhe um triângulo retângulo. Para $x = 2\sin\theta$, chame o cateto oposto de $x$ e a hipotenusa de $2$. O cateto adjacente é então $\sqrt{4 - x^2}$, e você lê $\cos\theta$, $\tan\theta$ ou qualquer outra razão.

### O que fazer com um polinômio do segundo grau que não está na forma padrão?

Complete o quadrado primeiro. Por exemplo, $x^2 + 2x + 5 = (x + 1)^2 + 4$, que tem a forma $u^2 + a^2$ com $u = x + 1$ e $a = 2$. Os exercícios 11 e 12 mostram isso.