# Exercícios de taxas relacionadas resolvidos, com respostas > 10 exercícios de taxas relacionadas com respostas e resolução completa: balão, escada, cone, sombra, carros e ângulos, cada um com um modelo claro. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-taxas-relacionadas Atualizado: 2026-11-06 $$ x^2 + y^2 = z^2 \;\Rightarrow\; 2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 10 problemas contextualizados, com respostas e resolução completa - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 4 - **Você precisa saber:** [Derivação implícita](/practice-problems/implicit-differentiation) e fórmulas básicas de geometria - **Ideia principal:** Escreva uma equação que relacione as grandezas, derive em relação a t e depois substitua os números - **Pratique com novos números:** [Lição de taxas relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) ## Pontos principais - Derive a equação primeiro e só depois substitua os números daquele instante. Substituir cedo demais transforma uma grandeza variável em constante. - Dê sinal às taxas: uma grandeza que está diminuindo tem taxa negativa. - Em cones e sombras, use semelhança de triângulos para eliminar a variável extra antes de derivar. Cada um destes **exercícios de taxas relacionadas** descreve uma situação em que duas ou mais grandezas variam juntas. Você sabe a rapidez com que uma varia e precisa da taxa de outra. Monte cada problema antes de conferir. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas. Todo exercício segue os mesmos cinco passos: 1. Faça um desenho e dê nome às grandezas que variam. 2. Anote a taxa conhecida e a taxa procurada, com unidades e sinais. 3. Escreva uma equação que relacione as grandezas. 4. Derive os dois lados em relação a $t$. 5. Substitua os valores no instante dado e resolva. Para saber mais sobre o método, leia o [guia de taxas relacionadas](/blog/related-rates). ## Exercícios **Fórmulas de geometria** 1. **Onda.** Uma pedra cai em um lago e forma uma onda circular. O raio cresce a $3$ cm/s. Com que rapidez a área dentro da onda cresce quando o raio é $10$ cm? 2. **Balão.** Bombeia-se ar em um balão esférico a $100$ cm³/s. Com que rapidez o raio aumenta quando o raio é $5$ cm? 3. **Cubo crescendo.** As arestas de um cubo crescem a $0.5$ cm/s. Com que rapidez o volume cresce quando cada aresta mede $4$ cm? **Triângulos retângulos** 4. **Escada escorregando.** Uma escada de $10$ pés está apoiada em uma parede. A base é puxada para longe da parede a $2$ pés/s. Com que rapidez o topo escorrega parede abaixo quando a base está a $6$ pés da parede? 5. **Ângulo da escada.** No exercício 4, com que rapidez varia o ângulo entre a escada e o chão nesse mesmo instante? 6. **Dois carros.** O carro A sai de um cruzamento rumo ao norte a $60$ mi/h. Ao mesmo tempo, o carro B sai rumo ao leste a $45$ mi/h. Com que rapidez cresce a distância entre eles depois de $2$ horas? 7. **Balão e observador.** Um balão de ar quente sobe na vertical a $4$ m/s. Um observador está a $300$ m do ponto de lançamento. Com que rapidez varia o ângulo de elevação do observador até o balão quando o balão está a $400$ m de altura? **Semelhança de triângulos e curvas** 8. **Enchendo um cone.** Um tanque de água tem forma de cone com o vértice para baixo. Ele tem $12$ pés de altura e $4$ pés de raio no topo. A água entra a $9$ pés³/min. Com que rapidez o nível da água sobe quando a água tem $6$ pés de profundidade? 9. **Sombra.** Uma pessoa de $6$ pés de altura se afasta de um poste de luz de $15$ pés a $5$ pés/s. Com que rapidez cresce o comprimento da sua sombra? 10. **Ponto em movimento.** Um ponto se move ao longo da curva $y = x^2$ de modo que sua coordenada $x$ aumenta a $3$ unidades/s. Com que rapidez varia sua distância até a origem quando o ponto está em $(2, 4)$? ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $60\pi \approx 188.5$ cm²/s | | 2 | $\dfrac{1}{\pi} \approx 0.318$ cm/s | | 3 | $24$ cm³/s | | 4 | O topo escorrega para baixo a $1.5$ pé/s ($\frac{dy}{dt} = -1.5$) | | 5 | $-\dfrac{1}{4}$ rad/s (o ângulo diminui a $0.25$ rad/s) | | 6 | $75$ mi/h | | 7 | $0.0048$ rad/s | | 8 | $\dfrac{9}{4\pi} \approx 0.716$ pé/min | | 9 | $\dfrac{10}{3} \approx 3.33$ pés/s | | 10 | $\dfrac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07$ unidades/s | ## Resolução passo a passo **1.** Conhecido: $\frac{dr}{dt} = 3$. Procurado: $\frac{dA}{dt}$ quando $r = 10$. A área do círculo é $A = \pi r^2$. Derive em relação a $t$: $$\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt} = 2\pi(10)(3) = 60\pi \approx 188.5 \text{ cm}^2/\text{s}$$ **2.** Conhecido: $\frac{dV}{dt} = 100$. Procurado: $\frac{dr}{dt}$ quando $r = 5$. O volume é $V = \frac{4}{3}\pi r^3$: $$\frac{dV}{dt} = 4\pi r^2\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad 100 = 4\pi(25)\frac{dr}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\pi} \approx 0.318 \text{ cm/s}$$ **3.** Conhecido: $\frac{ds}{dt} = 0.5$. Procurado: $\frac{dV}{dt}$ quando $s = 4$. O volume é $V = s^3$: $$\frac{dV}{dt} = 3s^2\frac{ds}{dt} = 3(16)(0.5) = 24 \text{ cm}^3/\text{s}$$ **4.** Seja $x$ a distância da parede até a base e $y$ a altura do topo. Conhecido: $\frac{dx}{dt} = 2$. Procurado: $\frac{dy}{dt}$ quando $x = 6$. O comprimento da escada é fixo: $$x^2 + y^2 = 100$$ Quando $x = 6$, $y = \sqrt{100 - 36} = 8$. Derive: $$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\frac{dx}{dt} = -\frac{6}{8}(2) = -1.5 \text{ ft/s}$$ O sinal de menos significa que o topo está descendo. **5.** Seja $\theta$ o ângulo junto ao chão. Então $\cos\theta = \frac{x}{10}$. Derive: $$-\sin\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{10}\frac{dx}{dt}$$ Nesse instante $\sin\theta = \frac{y}{10} = \frac{8}{10}$, então $$-\frac{8}{10}\frac{d\theta}{dt} = \frac{2}{10} \quad\Rightarrow\quad \frac{d\theta}{dt} = -\frac{1}{4} \text{ rad/s}$$ O ângulo diminui à medida que a escada escorrega. **6.** Seja $y$ a distância do carro A para o norte, $x$ a distância do carro B para o leste e $z$ a distância entre eles. Depois de $2$ horas, $y = 120$, $x = 90$ e $z = \sqrt{90^2 + 120^2} = 150$. De $x^2 + y^2 = z^2$: $$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 2z\frac{dz}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt} = \frac{90(45) + 120(60)}{150} = \frac{11250}{150} = 75 \text{ mph}$$ **7.** Seja $h$ a altura e $\theta$ o ângulo de elevação. Conhecido: $\frac{dh}{dt} = 4$. O observador está a $300$ m, então $\tan\theta = \frac{h}{300}$. Derive: $$\sec^2\theta\frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{300}\frac{dh}{dt}$$ Quando $h = 400$, a linha de visada mede $\sqrt{300^2 + 400^2} = 500$ m, então $\cos\theta = \frac{3}{5}$ e $\sec^2\theta = \frac{25}{9}$: $$\frac{d\theta}{dt} = \frac{9}{25}\cdot\frac{4}{300} = 0.0048 \text{ rad/s}$$ **8.** Seja $h$ a profundidade da água e $r$ o raio da superfície da água. Conhecido: $\frac{dV}{dt} = 9$. Procurado: $\frac{dh}{dt}$ quando $h = 6$. Por semelhança de triângulos, $\frac{r}{h} = \frac{4}{12}$, então $r = \frac{h}{3}$. Substitua no volume do cone para eliminar $r$: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{3}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{27}$$ Derive e substitua $h = 6$: $$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{9}\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad 9 = \frac{36\pi}{9}\frac{dh}{dt} = 4\pi\frac{dh}{dt} \quad\Rightarrow\quad \frac{dh}{dt} = \frac{9}{4\pi} \approx 0.716 \text{ ft/min}$$ **9.** Seja $x$ a distância da pessoa até o poste e $s$ o comprimento da sombra. Conhecido: $\frac{dx}{dt} = 5$. A lâmpada, a pessoa e a ponta da sombra formam dois triângulos semelhantes: $$\frac{15}{x + s} = \frac{6}{s} \quad\Rightarrow\quad 15s = 6x + 6s \quad\Rightarrow\quad s = \frac{2}{3}x$$ Derive: $$\frac{ds}{dt} = \frac{2}{3}\cdot 5 = \frac{10}{3} \approx 3.33 \text{ ft/s}$$ A resposta não depende de onde a pessoa está. A ponta da sombra se move a $5 + \frac{10}{3} = \frac{25}{3}$ pés/s. **10.** Seja $D$ a distância até a origem. Como $y = x^2$: $$D^2 = x^2 + y^2 = x^2 + x^4$$ Derive em relação a $t$: $$2D\frac{dD}{dt} = (2x + 4x^3)\frac{dx}{dt}$$ Em $(2, 4)$, $D = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$, e $\frac{dx}{dt} = 3$: $$\frac{dD}{dt} = \frac{(4 + 32)(3)}{2\sqrt{20}} = \frac{108}{2\sqrt{20}} = \frac{27}{\sqrt{5}} \approx 12.07 \text{ unidades/s}$$ ## Erros comuns nestes exercícios - **Substituir os números cedo demais.** No exercício 4, escrever $36 + y^2 = 100$ antes de derivar torna $x$ constante, e a taxa desaparece. - **Ignorar o sinal.** No exercício 4 a resposta é negativa. Dizer "o topo se move a 1,5 pé/s" não está errado, mas você precisa saber em que sentido. - **Manter $r$ e $h$ no cone.** No exercício 8, use semelhança de triângulos para escrever $r$ em função de $h$ antes de derivar. - **Usar graus.** Nos exercícios 5 e 7 as taxas saem em radianos por segundo, porque as derivadas trigonométricas só valem em radianos. ## Continue praticando Estes 10 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limites, com números novos e correção imediata em cada passo, faça a [lição de taxas relacionadas](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/related-rates) e depois a [prática mista de aplicações](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/applications-practice). O outro grande tipo de problema contextualizado é a otimização: pratique com os [exercícios de otimização](/practice-problems/optimization). ## Perguntas frequentes ### Como resolver problemas de taxas relacionadas? Faça um desenho e dê nome a cada grandeza que varia. Anote a taxa que você conhece e a taxa que quer. Encontre uma equação que relacione as grandezas, derive os dois lados em relação ao tempo $t$, depois substitua os valores no instante pedido e resolva. ### Por que não posso substituir os números antes de derivar? Porque os números só valem em um instante. Se você troca uma grandeza variável por um número antes de derivar, a derivada dela vira $0$ e você perde a taxa. Só grandezas fixas, como o comprimento de uma escada, podem entrar antes. ### Por que a resposta do problema da escada é negativa? O topo da escada está descendo, então sua altura $y$ diminui e $\frac{dy}{dt} < 0$. Em palavras, a resposta é "escorrega para baixo a 1,5 pé/s", e o sinal negativo é o que indica o sentido.