# Teorema do Valor Médio: exercícios resolvidos com respostas > 12 exercícios do Teorema do Valor Médio com respostas e resoluções: encontrar c, Teorema de Rolle, verificar hipóteses, limitar valores e contar raízes. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-teorema-do-valor-medio Atualizado: 2026-11-06 $$ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ ## Visão geral - **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas - **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, unidade 5 - **Pré-requisitos:** Derivadas e o significado de [continuidade](/practice-problems/continuity) - **Ideia principal:** Em algum ponto entre a e b, a inclinação da tangente é igual à inclinação média - **Pratique com novos números:** [Lição de aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt) ## Pontos principais - Verifique as duas hipóteses primeiro: $f$ contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$. - Para encontrar $c$, calcule a inclinação média, iguale $f'(c)$ a ela e fique só com as soluções estritamente entre $a$ e $b$. - O TVM transforma informações sobre $f'$ em informações sobre $f$. É assim que se limitam valores e se mostra que uma equação tem uma única raiz. Estes **exercícios do Teorema do Valor Médio** começam com o cálculo do valor de $c$, passam pelo Teorema de Rolle e por casos em que o teorema não se aplica e terminam com os dois usos clássicos: limitar uma função e mostrar que uma equação tem exatamente uma raiz. Tente resolver cada um primeiro. As respostas vêm logo depois da lista, seguidas das resoluções completas. O teorema: se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, então para algum $c$ em $(a, b)$, $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Veja as páginas do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem) e do [Teorema de Rolle](/theorems/rolles-theorem) para a demonstração, ou o [guia do TVM](/blog/mean-value-theorem) para mais exemplos. ## Exercícios **Encontre c** 1. $f(x) = x^2$ em $[1, 3]$ 2. $f(x) = x^3$ em $[0, 3]$ 3. $f(x) = \sqrt{x}$ em $[0, 4]$ 4. $f(x) = \dfrac{1}{x}$ em $[1, 4]$ 5. $f(x) = \ln x$ em $[1, e]$ 6. $f(x) = x^3 - 3x$ em $[-2, 2]$ **Teorema de Rolle** 7. Verifique o Teorema de Rolle para $f(x) = x^2 - 4x + 1$ em $[0, 4]$ e encontre $c$. **O teorema se aplica?** 8. O TVM se aplica a $f(x) = \dfrac{1}{x}$ em $[-1, 1]$? 9. O TVM se aplica a $f(x) = |x|$ em $[-1, 2]$? Existe algum $c$ que funcione mesmo assim? **Usando o teorema** 10. Um carro percorre $150$ milhas em $2$ horas. Mostre que em algum momento sua velocidade foi exatamente $75$ mph. 11. Suponha que $f(1) = 3$ e $f'(x) \le 5$ para todo $x$. Qual é o maior valor possível de $f(4)$? 12. Mostre que $x^3 + 2x - 1 = 0$ tem exatamente uma solução real. ## Respostas | Exercício | Resposta | | --- | --- | | 1 | $c = 2$ | | 2 | $c = \sqrt{3} \approx 1.732$ | | 3 | $c = 1$ | | 4 | $c = 2$ | | 5 | $c = e - 1 \approx 1.718$ | | 6 | $c = \pm\dfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$ | | 7 | $f(0) = f(4) = 1$, e $c = 2$ | | 8 | Não, $f$ não é contínua em $x = 0$ | | 9 | Não, $f$ não é diferenciável em $0$, e nenhum $c$ funciona | | 10 | Pelo TVM, a velocidade é igual à velocidade média de $75$ mph em algum instante | | 11 | $18$ | | 12 | O TVI garante pelo menos uma raiz, e o Teorema de Rolle descarta uma segunda | ## Resoluções passo a passo **1.** $f$ é um polinômio, então as hipóteses valem. A inclinação média é $\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4$, e $f'(c) = 2c$: $$2c = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **2.** A inclinação média é $\frac{27 - 0}{3} = 9$, e $f'(c) = 3c^2$: $$3c^2 = 9 \quad\Rightarrow\quad c = \pm\sqrt{3}$$ Só $c = \sqrt{3}$ está em $(0, 3)$. **3.** $\sqrt{x}$ é contínua em $[0, 4]$ e diferenciável em $(0, 4)$. Isso basta, mesmo que a derivada não exista em $x = 0$. A inclinação média é $\frac{2 - 0}{4} = \frac{1}{2}$: $$\frac{1}{2\sqrt{c}} = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad \sqrt{c} = 1 \quad\Rightarrow\quad c = 1$$ **4.** $\frac{1}{x}$ não tem problema em $[1, 4]$, porque $0$ não está no intervalo. A inclinação média é $\frac{\frac{1}{4} - 1}{3} = -\frac{1}{4}$: $$-\frac{1}{c^2} = -\frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad c^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **5.** A inclinação média é $\frac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \frac{1}{e - 1}$, e $f'(c) = \frac{1}{c}$: $$\frac{1}{c} = \frac{1}{e - 1} \quad\Rightarrow\quad c = e - 1 \approx 1.718$$ Esse valor está entre $1$ e $e \approx 2.718$, como deveria. **6.** $f(2) = 8 - 6 = 2$ e $f(-2) = -8 + 6 = -2$, então a inclinação média é $\frac{2 - (-2)}{4} = 1$: $$3c^2 - 3 = 1 \quad\Rightarrow\quad c^2 = \frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad c = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm 1.155$$ Os dois valores estão em $(-2, 2)$, então os dois servem. O TVM garante pelo menos um $c$, não exatamente um. **7.** $f$ é um polinômio, e $f(0) = 1$ e $f(4) = 16 - 16 + 1 = 1$ são iguais, então o Teorema de Rolle se aplica. Resolva $f'(c) = 0$: $$2c - 4 = 0 \quad\Rightarrow\quad c = 2$$ **8.** Não. $\frac{1}{x}$ não está definida em $x = 0$, que fica dentro de $[-1, 1]$, então $f$ não é contínua no intervalo. Na verdade, a inclinação média é $\frac{1 - (-1)}{2} = 1$, mas $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ é sempre negativa, então nenhum $c$ funciona. **9.** $|x|$ é contínua em $[-1, 2]$, mas não é diferenciável em $x = 0$, então o TVM não se aplica. A inclinação média é $\frac{2 - 1}{3} = \frac{1}{3}$, mas $f'(x)$ só vale $-1$ ou $1$. Nenhum $c$ dá $\frac{1}{3}$, o que mostra por que a hipótese de diferenciabilidade importa. **10.** Seja $s(t)$ a distância percorrida após $t$ horas. A posição é contínua e diferenciável, e $s'(t)$ é a velocidade. Pelo TVM, existe um instante $c$ em $(0, 2)$ com $$s'(c) = \frac{s(2) - s(0)}{2 - 0} = \frac{150}{2} = 75 \text{ mph}$$ **11.** Aplique o TVM em $[1, 4]$. Para algum $c$ em $(1, 4)$: $$f(4) - f(1) = f'(c)(4 - 1) \le 5\cdot 3 = 15$$ Então $f(4) \le 3 + 15 = 18$. O valor $18$ acontece quando $f'(x) = 5$ em todo ponto, por exemplo $f(x) = 5x - 2$. **12.** **Pelo menos uma raiz.** Seja $f(x) = x^3 + 2x - 1$. Ela é contínua, com $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 2 > 0$. Pelo [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem), existe uma raiz em $(0, 1)$. **No máximo uma raiz.** Suponha que houvesse duas raízes $a < b$. Então $f(a) = f(b) = 0$, e o Teorema de Rolle daria um $c$ com $f'(c) = 0$. Mas $f'(x) = 3x^2 + 2 \ge 2$ nunca é $0$. Logo não pode haver duas raízes, e existe exatamente uma. ## Erros comuns nestes exercícios - **Pular as hipóteses.** Os exercícios 8 e 9 mostram que, sem continuidade ou diferenciabilidade, a conclusão pode falhar. - **Manter um $c$ fora do intervalo.** No exercício 2, $c = -\sqrt{3}$ resolve a equação, mas não está em $(0, 3)$. - **Parar no primeiro $c$.** No exercício 6 há dois valores válidos. Liste todas as soluções do intervalo. - **Confundir taxa média com taxa instantânea.** O lado esquerdo do TVM é uma derivada em um único ponto. O lado direito é a inclinação da reta secante no intervalo inteiro. ## Continue praticando Estes 12 exercícios usam números fixos. Para praticar sem limite, com novas funções e correção na hora, faça a [lição de aproximação linear e TVM](/learn/calculus-1/applications-of-derivatives/linear-approximation-and-mvt). Para revisar a hipótese de continuidade, use os [exercícios de continuidade](/practice-problems/continuity), e para uma ideia parecida com integrais, veja o [Teorema do Valor Médio para integrais](/theorems/mean-value-theorem-for-integrals). ## Perguntas frequentes ### O que diz o Teorema do Valor Médio? Se $f$ é contínua em $[a, b]$ e diferenciável em $(a, b)$, então existe pelo menos um $c$ em $(a, b)$ com $f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$. Alguma reta tangente é paralela à reta secante que passa pelas extremidades. ### Como encontrar c no Teorema do Valor Médio? Calcule a inclinação média $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, iguale $f'(c)$ a ela e resolva para $c$. Fique só com os valores estritamente entre $a$ e $b$. Pode haver mais de um, como no exercício 6. ### Qual a diferença entre o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio? O Teorema de Rolle é o caso particular em que $f(a) = f(b)$. Aí a inclinação média é $0$, então existe um $c$ com $f'(c) = 0$, uma tangente horizontal. O TVM é o Teorema de Rolle inclinado.