# Exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo, com respostas

> 12 exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo com respostas: Parte 1 com derivadas e limites variáveis, Parte 2 com cálculo de integrais e funções acumulação.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-teorema-fundamental-do-calculo
Atualizado: 2026-11-06

$$ \frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x) $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 1 e AP Calculus AB, Unidade 6
- **Pré-requisitos:** A [regra da cadeia](/rules/chain-rule) e as antiderivadas básicas
- **Ideia principal:** Parte 1: substitua o limite superior no integrando e multiplique pela derivada dele. Parte 2: $F(b) - F(a)$
- **Pratique com novos números:** [Lição do Teorema Fundamental, Parte 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1)

## Pontos principais

- Parte 1: a derivada de $\int_a^x f(t)\,dt$ é $f(x)$. Se o limite superior for uma função, multiplique pela derivada dela.
- Se $x$ estiver no limite inferior, inverta os limites primeiro, o que acrescenta um sinal de menos.
- Uma função acumulação cresce onde o integrando é positivo e decresce onde ele é negativo.

Estes **exercícios do Teorema Fundamental do Cálculo** cobrem as duas partes do teorema: derivar integrais com limites variáveis, calcular integrais definidas e interpretar funções acumulação. Tente cada um primeiro. As respostas vêm antes, depois as resoluções completas.

As duas partes:

$$\text{Parte 1: } \frac{d}{dx}\int_a^{x} f(t)\,dt = f(x) \qquad \text{Parte 2: } \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$$

Com a regra da cadeia, a Parte 1 vira $\frac{d}{dx}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))\,g'(x)$. Para entender o raciocínio, veja a [Parte 1](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-1) e a [Parte 2](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2).

## Exercícios

**Parte 1: derivadas de integrais**

1. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_1^{x}(t^3 + 1)\,dt$
2. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\cos t\,dt$
3. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{5}e^{t^2}\,dt$
4. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{t}\,dt$ para $x > 0$
5. $\displaystyle\frac{d}{dx}\int_0^{\sin x}(1 + t^2)\,dt$

**Parte 2: cálculo de integrais**

6. $\displaystyle\int_1^{2}(6x^2 - 2)\,dx$
7. $\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx$
8. $\displaystyle\int_0^{\ln 3}e^x\,dx$
9. $\displaystyle\int_0^{1}\frac{1}{1 + x^2}\,dx$

**Funções acumulação**

10. Seja $g(x) = \int_0^{x}(t^2 - 4)\,dt$. Onde $g$ é crescente? Encontre o mínimo local de $g$ e o seu valor.
11. Seja $F(x) = \int_2^{x}\sqrt{t^2 + 5}\,dt$. Encontre $F(2)$ e $F'(2)$.
12. Seja $g(x) = \int_0^{x}\sin(t^2)\,dt$. Encontre $g''(x)$.

## Respostas

| Exercício | Resposta |
| --- | --- |
| 1 | $x^3 + 1$ |
| 2 | $2x\cos(x^2)$ |
| 3 | $-e^{x^2}$ |
| 4 | $\frac{1}{x}$ |
| 5 | $(1 + \sin^2 x)\cos x$ |
| 6 | $12$ |
| 7 | $2$ |
| 8 | $2$ |
| 9 | $\frac{\pi}{4}$ |
| 10 | Crescente para $\lvert x\rvert > 2$; mínimo local em $x = 2$, $g(2) = -\frac{16}{3}$ |
| 11 | $F(2) = 0$, $F'(2) = 3$ |
| 12 | $2x\cos(x^2)$ |

## Resolução passo a passo

**1.** O limite superior é simplesmente $x$, então troque $t$ por $x$. O limite inferior $1$ não importa:

$$x^3 + 1$$

**2.** O limite superior é $x^2$, então substitua-o e multiplique pela derivada dele, $2x$:

$$\cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

**3.** A variável está no limite inferior. Inverta os limites para obter $-\int_5^{x}e^{t^2}\,dt$ e depois use a Parte 1:

$$-e^{x^2}$$

Repare que $e^{t^2}$ não tem antiderivada elementar, então a Parte 1 é o único caminho aqui.

**4.** Limite superior menos limite inferior, cada um com o seu fator da regra da cadeia:

$$\frac{1}{x^2}\cdot 2x - \frac{1}{x}\cdot 1 = \frac{2}{x} - \frac{1}{x} = \frac{1}{x}$$

Verificação: a integral é igual a $\ln(x^2) - \ln x = \ln x$, cuja derivada é $\frac{1}{x}$.

**5.** Substitua $\sin x$ em $1 + t^2$ e multiplique por $\cos x$:

$$(1 + \sin^2 x)\cos x$$

**6.** Uma antiderivada é $2x^3 - 2x$:

$$(16 - 4) - (2 - 2) = 12$$

**7.** Uma antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x$:

$$-\cos\pi - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$$

**8.** Como $e^{\ln 3} = 3$:

$$e^{\ln 3} - e^0 = 3 - 1 = 2$$

**9.** Uma antiderivada é $\arctan x$:

$$\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$$

**10.** Pela Parte 1, $g'(x) = x^2 - 4$. Isso é positivo quando $|x| > 2$, então $g$ cresce em $(-\infty, -2)$ e $(2, \infty)$. Em $x = 2$, $g'$ passa de negativa para positiva, então $g$ tem um mínimo local nesse ponto:

$$g(2) = \int_0^2 (t^2 - 4)\,dt = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3}$$

**11.** Quando os limites são iguais, a integral é $0$, então $F(2) = 0$. Pela Parte 1, $F'(x) = \sqrt{x^2 + 5}$, logo $F'(2) = \sqrt{9} = 3$.

**12.** Primeiro, $g'(x) = \sin(x^2)$. Derive de novo com a regra da cadeia:

$$g''(x) = \cos(x^2)\cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$

## Erros comuns nestes exercícios

- **Esquecer o fator da regra da cadeia.** No exercício 2, $\cos(x^2)$ sozinho está errado. Multiplique pela derivada do limite superior.
- **Ignorar um limite inferior variável.** No exercício 3, o sinal de menos vem da inversão dos limites.
- **Tentar integrar primeiro quando não dá.** $e^{t^2}$ e $\sin(t^2)$ não têm antiderivadas elementares. A Parte 1 permite pular essa etapa.
- **Confundir $g$ com $g'$.** No exercício 10, $g$ cresce onde o integrando é positivo, não onde a própria $g$ é positiva.

## Continue praticando

Para exercícios ilimitados com correção imediata, experimente a [lição do Teorema Fundamental, Parte 1](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-1), a [lição da Parte 2](/learn/calculus-1/integrals/fundamental-theorem-part-2) e a [lição de funções acumulação](/learn/calculus-1/integrals/accumulation-functions). Para uma visão geral, leia o [guia do Teorema Fundamental](/blog/fundamental-theorem-of-calculus). Depois passe para os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a diferença entre a Parte 1 e a Parte 2 do Teorema Fundamental?

A Parte 1 diz que derivar uma integral com limite superior variável devolve o integrando. A Parte 2 diz que você pode calcular uma integral definida com qualquer antiderivada, como $F(b) - F(a)$. A Parte 1 trata de derivadas de integrais; a Parte 2 trata do cálculo de integrais.

### Por que a derivada de uma integral não depende do limite inferior?

Mudar um limite inferior constante só soma ou subtrai uma quantidade fixa de área, que é uma constante. Constantes têm derivada zero.

### E se os dois limites dependerem de x?

Divida a integral em uma constante ou use a regra diretamente: $\frac{d}{dx}\int_{h(x)}^{g(x)} f(t)\,dt = f(g(x))g'(x) - f(h(x))h'(x)$. O exercício 4 mostra isso.