# Exercícios de testes de convergência de séries, com respostas

> 12 exercícios de convergência de séries com respostas: termo geral, série p, geométrica, comparação, integral, razão, raiz e séries alternadas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/exercicios-resolvidos/exercicios-testes-de-convergencia
Atualizado: 2026-11-06

$$ L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|: \quad L < 1 \text{ converge},\ L > 1 \text{ diverge} $$

## Visão geral

- **Exercícios:** 12, com respostas e resoluções completas
- **Nível:** Cálculo 2 e AP Calculus BC, Unidade 10
- **Pré-requisitos:** Limites no infinito e a [fórmula da série geométrica](/rules/geometric-series-formula)
- **Ideia principal:** Associe a forma dos termos ao teste que trata essa forma
- **Pratique com novos números:** [Lição sobre como escolher o teste](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test)

## Pontos principais

- Comece sempre pelo [teste do termo geral](/rules/nth-term-test): se os termos não tendem a $0$, a série diverge.
- Use as séries $p$ e as séries geométricas como referência e compare as outras séries com elas.
- Fatoriais e potências $n$-ésimas indicam o teste da razão ou da raiz. Sinais alternados indicam o teste da série alternada.

Estes **exercícios de testes de convergência** trazem uma mistura de séries e pedem que você decida se cada uma converge ou diverge, e por quê. Escolher o teste certo é a verdadeira habilidade, então tente dizer qual teste usar antes de ler a resolução. As respostas vêm primeiro, depois as resoluções completas.

Um guia rápido dos testes:

| Forma dos termos | Teste a tentar |
| --- | --- |
| Os termos não tendem a $0$ | [Teste do termo geral](/rules/nth-term-test): diverge |
| $ar^n$ | Geométrica: converge se $\lvert r\rvert < 1$ |
| $\frac{1}{n^p}$ | Série $p$: converge se $p > 1$ |
| Expressões racionais ou com raízes | Comparação ou comparação no limite |
| Fatoriais ou $c^n$ | [Teste da razão](/rules/ratio-test) |
| $(\dots)^n$ | Teste da raiz |
| $(-1)^n b_n$ | [Teste da série alternada](/rules/alternating-series-test) |

## Exercícios

Decida se cada série converge ou diverge.

**Séries de referência**

1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$
2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n + 1}$
3. $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n$ (encontre também a soma)
4. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$

**Testes da comparação e da integral**

5. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2 + 1}$
6. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n - 1}$
7. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n}$

**Testes da razão e da raiz**

8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}$
9. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{10^n}$
10. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$

**Séries alternadas**

11. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}$
12. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^2}$

## Respostas

| Exercício | Resposta | Teste |
| --- | --- | --- |
| 1 | Converge | Série $p$, $p = 3$ |
| 2 | Diverge | Termo geral, termos $\to 1$ |
| 3 | Converge para $3$ | Geométrica, $r = \frac{2}{3}$ |
| 4 | Diverge | Série $p$, $p = \frac{1}{2}$ |
| 5 | Converge | Comparação com $\frac{1}{n^2}$ |
| 6 | Diverge | Comparação no limite com $\frac{1}{n}$ |
| 7 | Diverge | Teste da integral |
| 8 | Converge | Teste da razão, $L = \frac{1}{2}$ |
| 9 | Diverge | Teste da razão, $L = \infty$ |
| 10 | Converge | Teste da raiz, $L = \frac{1}{2}$ |
| 11 | Converge condicionalmente | Teste da série alternada |
| 12 | Converge absolutamente | $\sum\frac{1}{n^2}$ converge |

## Resolução passo a passo

**1.** É uma série $p$ com $p = 3 > 1$, então converge.

**2.** Os termos tendem a $1$, não a $0$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n + 1} = 1 \neq 0$$

Pelo teste do termo geral, a série diverge.

**3.** Geométrica com primeiro termo $1$ e razão $\frac{2}{3}$. Como $|r| < 1$:

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{2}{3}} = 3$$

**4.** $\frac{1}{\sqrt{n}} = \frac{1}{n^{1/2}}$ é uma série $p$ com $p = \frac{1}{2} \le 1$, então diverge.

**5.** Para todo $n$, $n^2 + 1 > n^2$, então $\frac{1}{n^2 + 1} < \frac{1}{n^2}$. A série maior $\sum\frac{1}{n^2}$ converge, então a menor também converge.

**6.** Compare com $\frac{1}{n}$:

$$\lim_{n\to\infty}\frac{1/(2n - 1)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n - 1} = \frac{1}{2}$$

O limite é positivo e finito, e $\sum\frac{1}{n}$ diverge, então esta série também diverge.

**7.** A função $\frac{1}{x\ln x}$ é positiva e decrescente para $x \ge 2$. Com $u = \ln x$:

$$\int_2^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \lim_{b\to\infty}\Big[\ln(\ln x)\Big]_2^{b} = \infty$$

A integral diverge, então a série diverge.

**8.** Teste da razão:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n + 1}{2^{n+1}}\cdot\frac{2^n}{n} = \frac{n + 1}{2n} \to \frac{1}{2} < 1$$

Converge. Na verdade, a soma é $2$.

**9.** Teste da razão:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n + 1)!}{10^{n+1}}\cdot\frac{10^n}{n!} = \frac{n + 1}{10} \to \infty$$

Diverge. Fatoriais crescem mais rápido do que qualquer exponencial.

**10.** Teste da raiz:

$$\sqrt[n]{a_n} = \frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2} < 1$$

Converge.

**11.** Os termos $\frac{1}{n}$ são positivos, decrescentes e tendem a $0$, então o teste da série alternada garante a convergência. Mas $\sum\frac{1}{n}$ diverge, então a convergência é condicional. A soma é $\ln 2$.

**12.** Os valores absolutos formam $\sum\frac{1}{n^2}$, uma série $p$ convergente. Logo, a série converge absolutamente.

## Erros comuns nestes exercícios

- **Usar o teste do termo geral para provar convergência.** Termos tendendo a $0$ não mostram convergência. O exercício 7 tem termos que tendem a $0$ e mesmo assim diverge.
- **Comparar na direção errada.** Ser menor que uma série divergente, ou maior que uma convergente, não prova nada.
- **Usar o teste da razão em séries $p$.** Para $\frac{1}{n^p}$ o limite da razão é sempre $1$, o que não dá resposta.
- **Esquecer de verificar a convergência absoluta.** Em séries alternadas, a resposta completa diz se a convergência é absoluta ou condicional.

## Continue praticando

Para séries ilimitadas com correção imediata, experimente a [lição sobre como escolher o teste](/learn/calculus-2/sequences-and-series/choosing-a-test), a [lição dos testes da razão e da raiz](/learn/calculus-2/sequences-and-series/ratio-and-root-tests) e a [lista de prática de séries](/learn/calculus-2/sequences-and-series/series-practice). Para entender o raciocínio por trás de cada teste, leia o [guia de testes de convergência](/blog/convergence-tests). Depois use esses testes para encontrar intervalos nos [exercícios de séries de potências](/practice-problems/power-series).

## Perguntas frequentes

### Qual teste de convergência devo usar primeiro?

Verifique primeiro o teste do termo geral, que pode resolver o exercício em uma linha. Depois observe a forma: $r^n$ é geométrica, $\frac{1}{n^p}$ é uma série $p$, fatoriais sugerem o teste da razão, $(\dots)^n$ sugere o teste da raiz e funções racionais sugerem uma comparação.

### Se os termos tendem a zero, a série converge?

Não necessariamente. A série harmônica $\sum\frac{1}{n}$ tem termos que tendem a $0$, mas diverge. Termos tendendo a $0$ é uma condição necessária para a convergência, mas não suficiente.

### Qual é a diferença entre convergência absoluta e condicional?

Uma série converge absolutamente se $\sum|a_n|$ converge. Ela converge condicionalmente se $\sum a_n$ converge, mas $\sum|a_n|$ não. A série harmônica alternada do exercício 11 é o exemplo clássico.