# Arco-cosseno arccos(x): Gráfico, Domínio, Imagem, Derivada e Integral

> A função arco-cosseno arccos(x), inversa do cosseno: domínio [−1, 1], imagem [0, π], gráfico, derivada −1/√(1−x²), integral e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/arco-cosseno
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arccos x = \cos^{-1} x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $[-1, 1]$
- **Imagem:** $[0, \pi]$
- **Derivada:** $-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Significado:** O ângulo em $[0, \pi]$ cujo cosseno é $x$
- **Identidade:** $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$

## Pontos principais

- $\arccos x$ é o ângulo em $[0, \pi]$ cujo cosseno é $x$, definido para $-1 \le x \le 1$.
- Sua derivada é $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, o oposto da derivada do arco-seno.
- Arco-seno e arco-cosseno sempre somam $\frac{\pi}{2}$.

A **função arco-cosseno** desfaz o cosseno: $\arccos x$ é o ângulo em $[0, \pi]$ cujo cosseno é $x$. Ela só está definida para $-1 \le x \le 1$ e está muito ligada ao [arco-seno](/functions/arcsine): os dois sempre somam $\frac{\pi}{2}$.

## Definição de arccos x

$$y = \arccos x \quad\Longleftrightarrow\quad \cos y = x \text{ e } 0 \le y \le \pi$$

Por exemplo, $\arccos\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}$, porque $\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ e $\frac{2\pi}{3}$ está em $[0, \pi]$. Usa-se o intervalo $[0, \pi]$ porque o [cosseno](/functions/cosine-function) é injetor ali e assume todos os valores de $[-1, 1]$.

## Gráfico de y = arccos x

```graph
title: 'Gráfico de y = arccos x em [−1, 1]'
caption: 'O arco-cosseno desce de $\pi$ em $x = -1$ até $0$ em $x = 1$, passando por $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-0.4, 3.6]
functions:
  - expr: arccos(x)
    label: y = arccos x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, 3.1416, '(−1, π)']
  - [0, 1.5708, '(0, π/2)']
  - [1, 0, '(1, 0)']
```

Diferente do arco-seno, o arco-cosseno é decrescente e não é nem par nem ímpar. Seu gráfico é simétrico em relação ao ponto $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, o que reflete a identidade $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Valores notáveis do arco-cosseno

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arccos x$ | $\pi$ | $\frac{5\pi}{6}$ | $\frac{2\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{6}$ | $0$ |

## Propriedades do arco-cosseno

- **Domínio $[-1, 1]$, imagem $[0, \pi]$.**
- **Decrescente** em todo o seu domínio.
- **Cancelamento.** $\cos(\arccos x) = x$ para $x$ em $[-1, 1]$; $\arccos(\cos x) = x$ somente para $x$ em $[0, \pi]$.
- **Identidade complementar.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$ para todo $x$ em $[-1, 1]$.
- **Reflexão.** $\arccos(-x) = \pi - \arccos x$.

## Derivada de arccos x

$$\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Por quê.** Seja $y = \arccos x$, então $\cos y = x$. Derivando implicitamente, $-\sin y\cdot y' = 1$, logo $y' = -\frac{1}{\sin y}$. Em $[0, \pi]$ temos $\sin y \ge 0$, então $\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$.

Um caminho mais rápido: derive $\arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x$. A constante desaparece e o sinal se inverte.

## Integral de arccos x

Use [integração por partes](/blog/integration-by-parts) com $u = \arccos x$ e $dv = dx$, de modo que $du = -\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ e $v = x$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C$$

Verificação: a derivada de $-\sqrt{1-x^2}$ é $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, que cancela o $-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$ vindo da regra do produto em $x\arccos x$, restando $\arccos x$.

Na prática, raramente você precisa de uma primitiva com "arccos" para $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, já que $-\arcsin x + C$ funciona igualmente bem. As duas respostas diferem pela constante $\frac{\pi}{2}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** Derive $f(x) = \arccos(x^2)$:

$$f'(x) = -\frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$$

**Exemplo 2: calcular.** $\arccos\left(\cos\frac{5\pi}{3}\right)$. Como $\cos\frac{5\pi}{3} = \frac{1}{2}$, a resposta é $\arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$, e não $\frac{5\pi}{3}$.

**Exemplo 3: composição.** Simplifique $\sin(\arccos x)$. Com $\theta = \arccos x$ em $[0, \pi]$, $\sin\theta \ge 0$, então $\sin(\arccos x) = \sqrt{1 - x^2}$.

**Exemplo 4: uma reta tangente.** Em $x = 0$, $\arccos 0 = \frac{\pi}{2}$ e a inclinação é $-\frac{1}{\sqrt{1}} = -1$. A reta tangente é $y = \frac{\pi}{2} - x$.

## Erros comuns

1. **Usar a imagem do arco-seno.** $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4}$, que está em $[0, \pi]$, e não $-\frac{\pi}{4}$.
2. **Esquecer o sinal de menos na derivada.** A derivada do arco-seno é positiva; a do arco-cosseno é negativa.
3. **Confundir $\cos^{-1}x$ com $\sec x$.** O inverso multiplicativo $\frac{1}{\cos x}$ é a secante (veja [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Supor que $\arccos(\cos x) = x$ sempre.** Isso só vale para $x$ em $[0, \pi]$.

## Como o arco-cosseno se conecta a outros tópicos

O arco-cosseno dá o ângulo entre dois vetores, $\theta = \arccos\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$, e por isso aparece junto com o [produto escalar](/blog/vectors-dot-and-cross-product). Sua derivada espelha a do [arco-seno](/functions/arcsine), e a terceira função trigonométrica inversa de que você precisa na integração é o [arco-tangente](/functions/arctangent).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arccos x?

A derivada de $\arccos x$ é $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $-1 < x < 1$. Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arccos(u) = -\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Qual é a imagem de arccos x?

A imagem é $[0, \pi]$. O cosseno é injetor nesse intervalo e assume cada valor de $-1$ a $1$ exatamente uma vez ali.

### Por que a imagem do arccos é diferente da imagem do arcsen?

O seno é injetor em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, mas o cosseno não é (ele é par). O cosseno é injetor em $[0, \pi]$, então o arco-cosseno usa esse intervalo.

### Qual é a integral de arccos x?

A integração por partes dá $\int\arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.