# Arco-seno arcsen(x): Gráfico, Domínio, Imagem, Derivada e Integral

> A função arco-seno arcsin(x), inversa do seno: domínio [−1, 1], imagem [−π/2, π/2], gráfico, derivada 1/√(1−x²), integral e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/arco-seno
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arcsin x = \sin^{-1} x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $[-1, 1]$
- **Imagem:** $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- **Derivada:** $\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
- **Integral:** $x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$
- **Significado:** O ângulo em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ cujo seno é $x$
- **Simetria:** Ímpar: $\arcsin(-x) = -\arcsin x$

## Pontos principais

- $\arcsin x$ é o ângulo em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ cujo seno é $x$, definido somente para $-1 \le x \le 1$.
- Sua derivada é $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$, então $\int\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x + C$.
- $\sin^{-1}x$ significa arco-seno, e não $\frac{1}{\sin x}$.

A **função arco-seno** desfaz a função seno: $\arcsin x$ é o ângulo cujo seno é $x$. Como o [seno](/functions/sine-function) se repete, ele não é injetor, então o arco-seno escolhe a única resposta em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$. No cálculo, ele importa principalmente como primitiva de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Definição de arcsen x

$$y = \arcsin x \quad\Longleftrightarrow\quad \sin y = x \text{ e } -\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}$$

Assim, $\arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, porque $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ e $\frac{\pi}{6}$ está no intervalo permitido. A notação $\sin^{-1}x$ significa a mesma coisa (no Brasil também se escreve arcsen x).

## Gráfico de y = arcsen x

```graph
title: 'Gráfico de y = arcsen x em [−1, 1]'
caption: 'O arco-seno sobe de $-\frac{\pi}{2}$ em $x = -1$ até $\frac{\pi}{2}$ em $x = 1$. As retas tangentes nas duas extremidades são verticais.'
x: [-1.8, 1.8]
y: [-1.9, 1.9]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsen x
    domain: [-1, 1]
points:
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
```

O gráfico é o trecho de $y = \sin x$ em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ refletido em relação à reta $y = x$.

## Valores notáveis do arco-seno

| $x$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\frac{1}{2}$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arcsin x$ | $-\frac{\pi}{2}$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |

## Propriedades do arco-seno

- **Domínio $[-1, 1]$, imagem $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.** Entradas fora de $[-1, 1]$ não estão definidas, já que nenhum ângulo tem seno $2$.
- **Crescente.** O arco-seno é estritamente crescente em todo o seu domínio.
- **Ímpar.** $\arcsin(-x) = -\arcsin x$.
- **Cancelamento.** $\sin(\arcsin x) = x$ para todo $x$ em $[-1, 1]$, mas $\arcsin(\sin x) = x$ somente para $x$ em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
- **Relação com o arco-cosseno.** $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$. Veja [arco-cosseno](/functions/arccosine).

## Derivada de arcsen x

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad -1 < x < 1$$

**Por quê.** Seja $y = \arcsin x$, então $\sin y = x$. A [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) dá $\cos y \cdot y' = 1$, logo $y' = \frac{1}{\cos y}$. Como $y$ está em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, $\cos y \ge 0$, e $\cos y = \sqrt{1 - \sin^2 y} = \sqrt{1 - x^2}$. Este é um caso particular da [regra da função inversa](/rules/inverse-function-rule).

Em $x = \pm 1$ o denominador se anula, e é por isso que o gráfico tem tangentes verticais nas extremidades.

## Integrais envolvendo o arco-seno

A fórmula da derivada, lida ao contrário, é a integral que você mais vai usar:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \arcsin x + C, \qquad \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

A integral do próprio arco-seno vem da [integração por partes](/blog/integration-by-parts) com $u = \arcsin x$, $dv = dx$:

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1 - x^2} + C$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** Derive $f(x) = \arcsin(3x)$:

$$f'(x) = \frac{3}{\sqrt{1 - 9x^2}}$$

**Exemplo 2: uma integral definida.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

**Exemplo 3: usando $a$.** $\int\frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$.

**Exemplo 4: composição.** Simplifique $\cos(\arcsin x)$. Se $\theta = \arcsin x$, então $\sin\theta = x$ e $\cos\theta \ge 0$, logo $\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2}$.

## Erros comuns

1. **Ler $\sin^{-1}x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** O inverso multiplicativo é $\csc x$, tratado em [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions).
2. **Dar um ângulo fora da imagem.** $\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{\pi}{6}$, e não $\frac{7\pi}{6}$ ou $\frac{11\pi}{6}$.
3. **Substituir $|x| > 1$.** $\arcsin 2$ não existe como número real.
4. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\arcsin(x^2) = \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}$, e não $\frac{1}{\sqrt{1-x^4}}$.

## Como o arco-seno se conecta a outros tópicos

O arco-seno é a base da substituição $x = a\sin\theta$ na [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution), usada em integrais com $\sqrt{a^2 - x^2}$. Seus irmãos são o [arco-cosseno](/functions/arccosine) e o [arco-tangente](/functions/arctangent), e as três derivadas são obtidas da mesma forma no guia de [derivação implícita](/blog/implicit-differentiation).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arcsen x?

A derivada de $\arcsin x$ é $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ para $-1 < x < 1$. Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arcsin(u) = \frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$.

### Quais são o domínio e a imagem de arcsen x?

O domínio é $[-1, 1]$, porque o seno só produz valores nesse intervalo. A imagem é $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, o intervalo em que o seno é injetor.

### Seno inverso é o mesmo que 1/sen x?

Não. $\sin^{-1}x$ é a função inversa arco-seno. O inverso multiplicativo $\frac{1}{\sin x}$ é a cossecante, $\csc x$.

### Qual é a integral de arcsen x?

Usando integração por partes com $u = \arcsin x$ e $dv = dx$, obtemos $\int\arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.

### Por que arcsen(sen x) nem sempre é igual a x?

O arco-seno sempre devolve um ângulo entre $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$. Por exemplo, $\arcsin(\sin\pi) = \arcsin 0 = 0$, e não $\pi$.