# Arco-tangente arctg(x): Gráfico, Assíntotas, Derivada e Integral

> A função arco-tangente arctan(x), inversa da tangente: domínio todos os reais, imagem (−π/2, π/2), gráfico, derivada 1/(1+x²), integral e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/arco-tangente
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \arctan x = \tan^{-1} x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$
- **Derivada:** $\frac{1}{1 + x^2}$
- **Integral:** $x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$
- **Assíntotas horizontais:** $y = \pm\frac{\pi}{2}$
- **Simetria:** Ímpar: $\arctan(-x) = -\arctan x$

## Pontos principais

- $\arctan x$ é o ângulo em $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ cuja tangente é $x$, definido para todo $x$ real.
- Sua derivada é $\frac{1}{1+x^2}$, então $\int\frac{dx}{1+x^2} = \arctan x + C$.
- O gráfico tem as assíntotas horizontais $y = \frac{\pi}{2}$ e $y = -\frac{\pi}{2}$.

A **função arco-tangente** desfaz a tangente: $\arctan x$ é o ângulo em $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ cuja tangente é $x$. Diferente do [arco-seno](/functions/arcsine) e do [arco-cosseno](/functions/arccosine), ela aceita qualquer número real, porque a [tangente](/functions/tangent-function) assume todos os valores reais. No cálculo, ela é famosa como primitiva de $\frac{1}{1+x^2}$.

## Definição de arctg x

$$y = \arctan x \quad\Longleftrightarrow\quad \tan y = x \text{ e } -\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

Como $\tan y$ é a inclinação de uma reta com ângulo $y$, você pode pensar em $\arctan m$ como o ângulo que uma reta de inclinação $m$ forma com o semieixo positivo $x$. Por exemplo, $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$: uma reta de inclinação $1$ forma um ângulo de 45 graus.

## Gráfico de y = arctg x

```graph
title: 'Gráfico de y = arctg x com assíntotas horizontais y = ±π/2'
caption: 'O arco-tangente é crescente em todo ponto e se estabiliza em direção a $\frac{\pi}{2}$ à direita e a $-\frac{\pi}{2}$ à esquerda.'
x: [-8, 8]
y: [-2.2, 2.2]
functions:
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctg x
  - expr: '1.5708'
    label: y = π/2
    dashed: true
  - expr: '-1.5708'
    label: y = −π/2
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [1, 0.7854, '(1, π/4)']
```

## Valores notáveis do arco-tangente

| $x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\arctan x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $-\frac{\pi}{6}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ |

## Propriedades do arco-tangente

- **Domínio todos os reais, imagem $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.** As extremidades nunca são atingidas.
- **Crescente e ímpar.** $\arctan(-x) = -\arctan x$.
- **Limites no infinito.** $\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ e $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Veja [limites no infinito](/blog/limits-at-infinity).
- **Cancelamento.** $\tan(\arctan x) = x$ para todo $x$; $\arctan(\tan x) = x$ somente para $x$ em $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.
- **Identidade do inverso.** Para $x > 0$, $\arctan x + \arctan\frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}$.

## Derivada de arctg x

$$\frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}$$

**Por quê.** Seja $y = \arctan x$, então $\tan y = x$. A [derivação implícita](/rules/implicit-differentiation) dá $\sec^2 y\cdot y' = 1$, logo $y' = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

A derivada é sempre positiva e máxima em $x = 0$, onde vale $1$. Ela diminui em direção a $0$ conforme $|x|$ cresce, acompanhando o achatamento do gráfico.

## Integrais envolvendo o arco-tangente

$$\int\frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x + C, \qquad \int\frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C \ (a > 0)$$

Elas aparecem sempre que há uma quadrática irredutível no denominador, o que é comum em [frações parciais](/blog/partial-fractions).

A integral do próprio arco-tangente usa [integração por partes](/blog/integration-by-parts) com $u = \arctan x$, $dv = dx$:

$$\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \int\frac{x}{1+x^2}\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1 + x^2) + C$$

Não é preciso módulo porque $1 + x^2 > 0$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** Derive $f(x) = \arctan(2x)$:

$$f'(x) = \frac{2}{1 + 4x^2}$$

**Exemplo 2: uma integral imprópria.**

$$\int_0^\infty\frac{dx}{1 + x^2} = \lim_{b\to\infty}\left(\arctan b - \arctan 0\right) = \frac{\pi}{2}$$

Esta é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals) convergente clássica.

**Exemplo 3: completando o quadrado.** Calcule $\int\frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Escreva $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ e use $a = 2$:

$$\int\frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Exemplo 4: uma integral definida.** $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4}$.

## Erros comuns

1. **Escrever a derivada como $\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$.** O arco-tangente não tem raiz quadrada. A raiz pertence ao arco-seno e ao arco-cosseno (com $1 - x^2$).
2. **Esquecer o $\frac{1}{a}$.** $\int\frac{dx}{9 + x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$, e não $\arctan\frac{x}{3} + C$.
3. **Ler $\tan^{-1}x$ como $\cot x$.** $\frac{1}{\tan x}$ é a cotangente, uma função diferente (veja [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)).
4. **Responder fora da imagem.** $\arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$, e não $\frac{3\pi}{4}$.

## Como o arco-tangente se conecta a outros tópicos

A substituição $x = a\tan\theta$ na [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) produz respostas com arco-tangente. Sua [série de potências](/blog/power-series), $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots$ para $|x| \le 1$, vem da integração da [série geométrica](/blog/geometric-series) de $\frac{1}{1+x^2}$, e em $x = 1$ ela dá a famosa $\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \cdots$.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de arctg x?

A derivada de $\arctan x$ é $\frac{1}{1+x^2}$. Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\arctan(u) = \frac{u'}{1+u^2}$.

### Qual é a integral de 1/(1+x^2)?

É $\arctan x + C$. De modo mais geral, $\int\frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$ para $a > 0$.

### Qual é o limite de arctg x quando x tende ao infinito?

$\lim_{x\to\infty}\arctan x = \frac{\pi}{2}$ e $\lim_{x\to-\infty}\arctan x = -\frac{\pi}{2}$. Essas são as assíntotas horizontais do gráfico.

### Qual é a integral de arctg x?

A integração por partes com $u = \arctan x$ e $dv = dx$ dá $\int\arctan x\,dx = x\arctan x - \frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$.