# Função Afim (Linear) f(x) = mx + b: Gráfico, Derivada e Integral

> A função afim f(x) = mx + b: coeficiente angular e linear, gráfico em reta, por que sua derivada é a inclinação m, sua integral e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-afim
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = mx + b $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** $(-\infty, \infty)$ se $m \ne 0$
- **Derivada:** $m$
- **Integral:** $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$
- **Inclinação (coeficiente angular):** $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
- **Intercepto no eixo y:** $(0, b)$

## Pontos principais

- Uma função afim $f(x) = mx + b$ tem como gráfico uma reta com inclinação $m$ e intercepto no eixo $y$ igual a $b$.
- Sua derivada é a constante $m$: uma reta tem a mesma taxa de variação em todos os pontos.
- Sua integral é $\frac{m}{2}x^2 + bx + C$, uma função quadrática.
- Retas tangentes e aproximações lineares são funções afins construídas a partir de uma derivada.

Uma **função afim**, também chamada de função linear ou função do primeiro grau, tem taxa de variação constante, então seu gráfico é uma reta. Escrevendo $f(x) = mx + b$, o número $m$ é a inclinação, ou coeficiente angular (quanto $f$ sobe por unidade de $x$), e $b$ é o coeficiente linear, o intercepto no eixo $y$ (o valor da função em $x = 0$).

## Fórmula e formas

$$f(x) = mx + b$$

A mesma reta pode ser escrita de outras maneiras, dependendo do que você conhece:

| Forma | Equação | Use quando você conhece |
| --- | --- | --- |
| Reduzida | $y = mx + b$ | a inclinação e o intercepto no eixo $y$ |
| Ponto-inclinação | $y - y_1 = m(x - x_1)$ | a inclinação e um ponto |
| Geral | $Ax + By = C$ | uma equação para reorganizar |

A forma ponto-inclinação é a mais usada no cálculo, porque uma reta tangente é construída a partir de um ponto $(a, f(a))$ e de uma inclinação $f'(a)$.

## Gráfico de uma função afim

```graph
title: 'Gráfico das funções afins y = 2x + 1 e y = -0.5x + 3'
caption: 'Uma inclinação positiva sobe da esquerda para a direita e uma inclinação negativa desce. Cada reta corta o eixo $y$ no seu intercepto $b$.'
x: [-4, 4]
y: [-5, 7]
functions:
  - expr: 2x + 1
    label: y = 2x + 1
  - expr: -0.5x + 3
    label: y = -0.5x + 3
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 3, '(0, 3)']
```

- $m > 0$: crescente. $m < 0$: decrescente. $m = 0$: uma reta horizontal, a [função constante](/functions/constant-function).
- Quanto maior for $|m|$, mais inclinada é a reta.
- O intercepto no eixo $x$ (a raiz) é onde $mx + b = 0$, isto é, $x = -\frac{b}{m}$ quando $m \ne 0$.

## Derivada de uma função afim

$$\frac{d}{dx}(mx + b) = m$$

A derivada de $mx$ é $m$ pela [regra da potência](/rules/power-rule) e pela [regra da constante multiplicada](/rules/constant-multiple-rule), e a derivada de $b$ é $0$. Isso combina com a geometria: a reta tangente a uma reta é a própria reta, e sua inclinação nunca muda. A segunda derivada é $0$, então uma reta não tem concavidade.

## Integral de uma função afim

$$\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$$

Integrar uma reta dá uma [função quadrática](/functions/quadratic-function). Em uma integral definida sobre $[a, b]$, a região sob uma reta é um trapézio (ou dois triângulos, se ela cruzar o eixo), então dá para conferir qualquer resposta com geometria.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: inclinação a partir de dois pontos.** Encontre a reta que passa por $(1, 3)$ e $(4, 9)$.

$$m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = 2, \qquad y - 3 = 2(x - 1) \;\Rightarrow\; y = 2x + 1$$

**Exemplo 2: derivada.** Se $f(x) = -4x + 7$, então $f'(x) = -4$ para todo $x$.

**Exemplo 3: integral definida.** Calcule $\int_0^2 (3x + 1)\,dx$.

$$\left[\tfrac{3}{2}x^2 + x\right]_0^2 = (6 + 2) - 0 = 8$$

Conferindo: a região é um trapézio com lados paralelos $f(0) = 1$ e $f(2) = 7$ e largura $2$, então sua área é $\frac{1 + 7}{2} \cdot 2 = 8$.

**Exemplo 4: uma reta tangente.** A reta tangente a $y = x^2$ em $x = 3$ tem inclinação $2(3) = 6$ e passa por $(3, 9)$, então é a função afim $y = 6x - 9$.

## Erros comuns

1. **Trocar a ordem na fórmula da inclinação.** Mantenha o mesmo ponto primeiro no numerador e no denominador: $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$, e não $\frac{y_2 - y_1}{x_1 - x_2}$.
2. **Chamar $f(x) = x^2 + 1$ de afim.** Afim significa que a variável aparece apenas na primeira potência.
3. **Integrar $mx$ como $mx^2$.** A regra da potência inversa divide pelo novo expoente: $\int mx\,dx = \frac{m}{2}x^2 + C$.
4. **Confundir "função afim" com "equação linear em duas incógnitas".** Uma reta vertical $x = 2$ é uma equação linear, mas não é uma função.

## Como se conecta

As retas são a razão de existir das derivadas: a derivada em um ponto é a inclinação da reta que melhor se ajusta à curva ali. Essa ideia está por trás das [retas tangentes](/blog/limit-definition-of-the-derivative), da [aproximação linear](/blog/linear-approximation) e do método de Newton. As retas são [funções polinomiais](/functions/polynomial-functions) de grau um, e integrá-las leva às funções quadráticas.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de uma função afim?

A derivada de $f(x) = mx + b$ é $f'(x) = m$, a inclinação da reta. Uma reta sobe sempre a mesma quantidade a cada unidade de $x$, então sua taxa de variação é constante.

### Qual é a integral de mx + b?

A integral é $\int (mx + b)\,dx = \frac{m}{2}x^2 + bx + C$. Dá para conferir derivando: a derivada de $\frac{m}{2}x^2 + bx$ é $mx + b$.

### Como encontrar a inclinação de uma função afim a partir de dois pontos?

Use $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Para os pontos $(1, 3)$ e $(4, 9)$, a inclinação é $\frac{9 - 3}{4 - 1} = 2$.

### Uma reta horizontal é uma função afim?

Sim. Uma reta horizontal $y = b$ é uma função afim com inclinação $m = 0$, que também é uma função constante. Já uma reta vertical $x = a$ nem sequer é uma função.