# Função Constante f(x) = c: Gráfico, Derivada, Integral e Propriedades > A função constante f(x) = c: gráfico como reta horizontal, por que sua derivada é 0, sua integral cx + C, limites e erros comuns com constantes. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-constante Atualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = c $$ ## Visão geral - **Domínio:** $(-\infty, \infty)$ - **Imagem:** O único valor $\{c\}$ - **Derivada:** $0$ - **Integral:** $cx + C$ - **Gráfico:** Uma reta horizontal passando por $(0, c)$ - **Inclinação:** $0$ em todo ponto ## Pontos principais - Uma função constante $f(x) = c$ dá a mesma saída para toda entrada, então seu gráfico é uma reta horizontal. - A derivada de qualquer constante é $0$, porque uma reta horizontal tem inclinação zero. - A integral de uma constante é $\int c\,dx = cx + C$, a área de um retângulo de altura $c$. - O $c$ minúsculo da função e o $C$ maiúsculo de uma primitiva são constantes diferentes. Uma **função constante** devolve o mesmo número, não importa o que você coloque na entrada. Escrita como $f(x) = c$, onde $c$ é um número real fixo, ela é a função mais simples do cálculo e o ponto de partida de todas as regras de derivação e integração. ## Definição e fórmula $$f(x) = c$$ Aqui $c$ pode ser qualquer número real: $f(x) = 3$, $g(x) = -\tfrac{1}{2}$, $h(x) = \pi$. A entrada $x$ não aparece no lado direito, então mudar $x$ nunca muda a saída. Exemplos que aparecem na prática incluem uma taxa fixa, a aceleração de um movimento com velocidade constante (zero) ou o valor $f(a)$ depois que $a$ é fixado. ## Gráfico de uma função constante O gráfico de $y = c$ é uma **reta horizontal** que corta o eixo $y$ em $(0, c)$. Todos os seus pontos têm a mesma altura. ```graph title: 'Gráfico das funções constantes y = 3 e y = -2' caption: 'Cada função constante é uma reta horizontal. Sua inclinação, e portanto sua derivada, é $0$ em todo ponto.' x: [-5, 5] y: [-4, 5] functions: - expr: '3' label: y = 3 - expr: '-2' label: y = -2 points: - [0, 3, '(0, 3)'] - [0, -2, '(0, -2)'] ``` ## Derivada de uma constante A derivada de uma constante é zero: $$\frac{d}{dx}\, c = 0$$ Pela [definição de derivada por limite](/blog/limit-definition-of-the-derivative): $$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{c - c}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$ Geometricamente, uma reta horizontal tem inclinação $0$, então toda reta tangente é a própria reta. Esse fato é a [regra da constante](/rules/constant-rule), e explica por que o termo constante de um polinômio desaparece quando você deriva. ## Integral de uma constante No sentido inverso, uma função cuja derivada é $c$ é $cx$, então $$\int c\,dx = cx + C$$ Numa integral definida, a área sob $y = c$ de $a$ até $b$ é um retângulo de altura $c$ e largura $b - a$: $$\int_a^b c\,dx = c(b - a)$$ Se $c$ for negativo, o retângulo fica abaixo do eixo e a área com sinal é negativa. ## Propriedades principais - **Contínua e derivável em todo ponto.** Não há saltos, buracos nem bicos. - **Os limites são imediatos.** $\lim_{x \to a} c = c$ para todo $a$, e também $\lim_{x \to \pm\infty} c = c$. - **Função par.** $f(-x) = f(x)$, então o gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$. - **Nem crescente nem decrescente.** Ela é ao mesmo tempo não crescente e não decrescente. - **Todo ponto é máximo e mínimo.** Como a saída nunca muda, todo $x$ dá ao mesmo tempo o maior e o menor valor. - **Polinômio de grau zero.** Uma constante não nula é $cx^0$, o primeiro degrau das [funções polinomiais](/functions/polynomial-functions). ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1.** Derive $f(x) = 7$. A derivada é $f'(x) = 0$. **Exemplo 2.** Derive $g(x) = 4x^2 + 9$. Pela regra da soma, $g'(x) = 8x + 0 = 8x$. O $9$ não contribui com nada. **Exemplo 3.** Derive $y = \pi^2$. Embora pareça complicado, $\pi^2 \approx 9.87$ é apenas um número, então $y' = 0$. **Exemplo 4.** Calcule $\int_1^4 5\,dx$. A primitiva é $5x$, então o valor é $5(4) - 5(1) = 15$, a área de um retângulo $5 \times 3$. ## Erros comuns 1. **Tratar constantes que parecem expressões como variáveis.** $e^2$, $\ln 3$ e $\sin\frac{\pi}{6}$ são números, então suas derivadas são $0$. É comum o aluno escrever $\frac{d}{dx}e^2 = e^2$ por engano. 2. **Esquecer o $x$ ao integrar.** $\int 5\,dx = 5x + C$, e não $5 + C$. 3. **Confundir $c$ com $C$.** A constante de integração $C$ é nova e arbitrária. Ela não é o mesmo número que o $c$ em $f(x) = c$. 4. **Descartar um fator constante.** A derivada de um *termo* constante é $0$, mas um *fator* constante permanece: $\frac{d}{dx}(5x) = 5$, e não $0$. Veja a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule). ## Como se conecta Uma função constante é uma [função afim](/functions/linear-function) com inclinação $0$ e o caso particular $n = 0$ das [funções potência](/functions/power-functions). Nas aplicações, uma derivada igual a zero num intervalo indica que a função original é constante ali, uma consequência do [Teorema do Valor Médio](/theorems/mean-value-theorem). É também por isso que toda primitiva carrega um $+\,C$: duas funções com a mesma derivada diferem por uma constante. Para saber mais, leia o guia sobre [antiderivadas](/blog/antiderivatives). ## Perguntas frequentes ### Qual é a derivada de uma constante? A derivada de qualquer constante é $0$. Uma constante nunca muda, então sua taxa de variação é zero, e o gráfico de $y = c$ é uma reta horizontal com inclinação $0$. ### Qual é a integral de uma constante? A integral de uma constante $c$ é $\int c\,dx = cx + C$. Por exemplo, $\int 5\,dx = 5x + C$, porque a derivada de $5x$ é $5$. ### A função constante é contínua? Sim. Uma função constante é contínua e derivável em todo número real. Seu limite em qualquer ponto $a$ é simplesmente $c$. ### A função constante é um polinômio? Sim. Uma constante não nula é um polinômio de grau $0$, já que $c = cx^0$. A função nula $f(x) = 0$ também é um polinômio, embora seu grau costume ficar indefinido. ### A função constante é par ou ímpar? Toda função constante é par, porque $f(-x) = c = f(x)$. Somente a função nula é ao mesmo tempo par e ímpar.