# Função Cosseno cos(x): Gráfico, Derivada, Integral e Propriedades

> A função cosseno cos(x): gráfico, domínio, imagem, período, valores notáveis, derivada −sen(x), integral sen(x) + C e erros comuns.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-cosseno
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \cos x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** $[-1, 1]$
- **Derivada:** $-\sin x$
- **Integral:** $\sin x + C$
- **Período:** $2\pi$
- **Simetria:** Par: $\cos(-x) = \cos x$

## Pontos principais

- $\cos x$ é a coordenada $x$ do ponto de ângulo $x$ (em radianos) no círculo trigonométrico.
- O cosseno é par, se repete a cada $2\pi$ e fica entre $-1$ e $1$.
- A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$, e $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.

A **função cosseno** recebe um ângulo $x$, medido em radianos, e devolve a coordenada $x$ do ponto correspondente a esse ângulo no círculo trigonométrico. Seu gráfico é a mesma onda do [seno](/functions/sine-function), deslocada um quarto de período para a esquerda, então começa no pico em vez de começar em zero.

## Definição de cos x

Percorra uma distância $x$ no sentido anti-horário sobre o círculo trigonométrico a partir de $(1, 0)$. O ponto que você alcança é $(\cos x, \sin x)$, então

$$\cos x = \text{the } x\text{-coordinate of the point at angle } x.$$

Ou seja, o cosseno é a abscissa desse ponto. Para um ângulo agudo num triângulo retângulo, isso é a razão $\cos\theta = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}$, isto é, cateto adjacente sobre hipotenusa.

## Gráfico de y = cos x

```graph
title: 'Gráfico de y = cos x de −2π a 2π'
caption: 'O cosseno começa no seu máximo $\cos 0 = 1$, cruza o zero nos múltiplos ímpares de $\frac{\pi}{2}$ e atinge $-1$ em $x = \pm\pi$.'
x: [-6.6, 6.6]
y: [-1.6, 1.6]
functions:
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
  - [4.7124, 0, '(3π/2, 0)']
```

## Valores notáveis do cosseno

| $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\cos x$ | $1$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | $0$ | $1$ |

Repare que a linha é a do seno lida de trás para frente em $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$, porque $\cos x = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$.

## Propriedades da função cosseno

- **Domínio e imagem.** Entram todos os números reais, saem valores em $[-1, 1]$.
- **Período.** $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, e $A\cos(bx)$ tem amplitude $|A|$ e período $\frac{2\pi}{|b|}$.
- **Zeros.** $\cos x = 0$ exatamente quando $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para algum inteiro $k$. São os pontos onde a [tangente](/functions/tangent-function) e a secante têm assíntotas verticais.
- **Simetria par.** $\cos(-x) = \cos x$.
- **Identidades.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ e a fórmula do arco duplo $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$.

## Derivada de cos x

$$\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$$

O sinal de menos faz sentido no gráfico: logo depois de $x = 0$ o cosseno está descendo, e $-\sin x$ é negativo ali. Em $x = \pi$ o cosseno atinge o mínimo, e $-\sin\pi = 0$. A derivada segunda é $-\cos x$, então o cosseno, assim como o seno, satisfaz $y'' = -y$.

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\cdot u'$.

## Integral de cos x

$$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$

Por exemplo, $\int_0^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin\frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** Derive $f(x) = \cos(4x - 1)$. A derivada de dentro é $4$, então $f'(x) = -4\sin(4x - 1)$.

**Exemplo 2: potência do cosseno.** Derive $g(x) = \cos^3 x = (\cos x)^3$. A potência de fora dá $3\cos^2 x$ e a parte de dentro dá $-\sin x$:

$$g'(x) = -3\cos^2 x\sin x$$

**Exemplo 3: substituição.** Calcule $\int x\cos(x^2)\,dx$. Seja $u = x^2$, então $du = 2x\,dx$:

$$\int x\cos(x^2)\,dx = \frac{1}{2}\int \cos u\,du = \frac{1}{2}\sin(x^2) + C$$

**Exemplo 4: uma reta tangente.** Em $x = \frac{\pi}{2}$, $\cos x = 0$ e a inclinação é $-\sin\frac{\pi}{2} = -1$. A reta tangente é $y = -\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos.** $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$, e não $\sin x$. Uma dica para memorizar: as derivadas das funções "co" (cosseno, cotangente, cossecante) têm todas um sinal de menos.
2. **Colocar um sinal de menos na integral.** $\int\cos x\,dx = \sin x + C$, sem sinal de menos.
3. **Interpretar mal $\cos^2 x$.** $\cos^2 x$ significa $(\cos x)^2$, e não $\cos(\cos x)$ nem $\cos(x^2)$.
4. **Esquecer a derivada de dentro.** $\frac{d}{dx}\cos(2x) = -2\sin(2x)$, e não $-\sin(2x)$.

## Como o cosseno se conecta a outros tópicos

O cosseno é o denominador da [tangente](/functions/tangent-function) e o inverso multiplicativo da secante (veja [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions)). Restrito a $[0, \pi]$, ele tem como inversa o [arco-cosseno](/functions/arccosine). Em Cálculo 2 você vai integrar potências do cosseno usando a identidade $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ e conhecer sua [série de Taylor](/blog/taylor-series) $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$. Para praticar mais a derivação, veja o guia de [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de cos x?

A derivada de $\cos x$ é $-\sin x$. Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\cos(u) = -\sin(u)\,u'$.

### Qual é a integral de cos x?

A primitiva de $\cos x$ é $\sin x + C$, porque a derivada de $\sin x$ é $\cos x$.

### O cosseno é par ou ímpar?

O cosseno é par: $\cos(-x) = \cos x$. Seu gráfico é simétrico em relação ao eixo $y$.

### Qual é a diferença entre os gráficos do seno e do cosseno?

São a mesma onda deslocada de um quarto de período: $\cos x = \sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$. O cosseno começa no seu máximo, $\cos 0 = 1$, enquanto o seno começa em zero.