# Função Exponencial Natural eˣ: Gráfico, Derivada e Integral

> A função exponencial natural e^x: o que é o número e, seu gráfico, por que ela é sua própria derivada e integral, limites, séries e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-exponencial-natural
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = e^x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** $(0, \infty)$
- **Derivada:** $e^x$
- **Integral:** $e^x + C$
- **Valor de e:** $e \approx 2.71828$
- **Inversa:** $\ln x$
- **Assíntota:** $y = 0$ quando $x \to -\infty$

## Pontos principais

- A função exponencial natural $e^x$ usa a base $e \approx 2.71828$.
- Ela é a única função (a menos de um múltiplo constante) igual à sua própria derivada: $\frac{d}{dx}e^x = e^x$.
- Sua integral é $e^x + C$ e, com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}g'(x)$.
- $e^x$ é sempre positiva, sempre crescente e é a inversa de $\ln x$.

A **função exponencial natural** $f(x) = e^x$ é a função exponencial cuja base é o número de Euler, $e \approx 2.71828$. Ela é a função mais importante do cálculo, porque é a sua própria derivada: a taxa com que $e^x$ cresce é sempre igual ao seu valor atual.

## Fórmula e o número e

$$f(x) = e^x, \qquad e = \lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \approx 2.71828$$

Toda [função exponencial](/functions/exponential-functions) $b^x$ tem em $x = 0$ uma inclinação proporcional à sua altura. A base $e$ é a única escolha que torna a inclinação em $x = 0$ exatamente $1$, e é por isso que as derivadas de $e^x$ ficam tão simples.

## Gráfico de eˣ

```graph
title: 'Gráfico da função exponencial natural y = eˣ'
caption: 'A curva passa por $(0, 1)$ com inclinação $1$. A reta tangente tracejada $y = x + 1$ mostra essa inclinação; a curva fica acima dela em todos os pontos.'
x: [-4, 2.5]
y: [-1, 8]
functions:
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x + 1
    label: tangente y = x + 1
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [1, 2.718, '(1, e)']
```

## Propriedades principais

- **Domínio** todos os reais, **imagem** $(0, \infty)$: $e^x$ é sempre positiva.
- **Sempre crescente** e **sempre com concavidade para cima**, já que $f'(x) = f''(x) = e^x > 0$.
- **Assíntota horizontal** $y = 0$: $\lim_{x \to -\infty}e^x = 0$, enquanto $\lim_{x \to \infty}e^x = \infty$.
- **Inversa do logaritmo natural:** $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$ e $\ln(e^x) = x$ para todo $x$. Veja o [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).
- **Propriedades das potências:** $e^{a+b} = e^ae^b$, $e^{a-b} = \frac{e^a}{e^b}$, $(e^a)^b = e^{ab}$, $e^0 = 1$.
- **Cresce mais rápido que qualquer potência:** $\lim_{x \to \infty}\frac{x^n}{e^x} = 0$ para todo $n$.
- **Série de potências:** $e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$, válida para todo $x$.

## Derivada de eˣ

$$\frac{d}{dx}e^x = e^x$$

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}e^{g(x)} = e^{g(x)}\,g'(x)$$

O expoente nunca "desce" para a frente. Isso é a [regra da potência](/rules/power-rule), que não se aplica aqui.

## Integral de eˣ

$$\int e^x\,dx = e^x + C, \qquad \int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C \quad (k \ne 0)$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}e^{3x} = 3e^{3x}$.

**Exemplo 2: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}e^{x^2} = 2x\,e^{x^2}$.

**Exemplo 3: regra do produto.** $\frac{d}{dx}\left(x e^x\right) = e^x + xe^x = (1 + x)e^x$.

**Exemplo 4: integral definida.** $\int_0^{\ln 2}e^x\,dx = e^{\ln 2} - e^0 = 2 - 1 = 1$.

**Exemplo 5: substituição.** Com $u = x^2$, $\int 2x\,e^{x^2}\,dx = e^{x^2} + C$.

**Exemplo 6: crescimento exponencial.** A solução de $y' = ky$ com $y(0) = y_0$ é $y = y_0e^{kt}$. É por isso que $e$ aparece no crescimento populacional, no decaimento radioativo e nos juros compostos contínuos.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência.** $\frac{d}{dx}e^x \ne xe^{x-1}$.
2. **Esquecer o fator da regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}e^{5x} = 5e^{5x}$, e não $e^{5x}$.
3. **Integrar $e^{kx}$ sem dividir por $k$.** $\int e^{4x}\,dx = \frac{1}{4}e^{4x} + C$.
4. **Tratar $e^2$ como variável.** $e^2$ é uma constante, então sua derivada é $0$.
5. **Escrever $e^{a+b} = e^a + e^b$.** Os expoentes se somam quando se multiplica: $e^{a+b} = e^ae^b$.

## Como se conecta

$e^x$ é a inversa de $\ln x$ e a base das [funções hiperbólicas](/functions/hyperbolic-functions). Qualquer exponencial pode ser reescrita na base $e$: $b^x = e^{x\ln b}$. Para um passo a passo completo com mais prática, leia o guia de [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions) e veja as [séries de Taylor](/blog/taylor-series) para a sua expansão em série.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de e^x?

A derivada de $e^x$ é $e^x$. Em cada ponto, a inclinação do gráfico é igual à sua altura, e essa é a propriedade que define a base $e$.

### Qual é a integral de e^x?

$\int e^x\,dx = e^x + C$. De forma mais geral, $\int e^{kx}\,dx = \frac{1}{k}e^{kx} + C$ para qualquer constante $k \ne 0$.

### O que é o número e?

O número $e \approx 2.71828$ é o limite $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$. De forma equivalente, é a única base para a qual a exponencial $b^x$ tem inclinação exatamente $1$ em $x = 0$.

### Qual é a derivada de e^(2x)?

Pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx}e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$. Multiplique pela derivada do expoente.

### e^x pode ser zero ou negativa?

Não. $e^x > 0$ para todo $x$ real. Ela se aproxima de $0$ quando $x \to -\infty$, mas nunca chega lá, então $y = 0$ é uma assíntota horizontal.