# Função Módulo |x|: Gráfico, Derivada, Integral e Bico > A função módulo (valor absoluto) |x|: gráfico em V, por que é contínua mas não derivável em 0, sua derivada x/|x| e sua integral. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-modulo Atualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = |x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases} $$ ## Visão geral - **Domínio:** $(-\infty, \infty)$ - **Imagem:** $[0, \infty)$ - **Derivada:** $\frac{x}{|x|}$ - **Integral:** $\frac{x|x|}{2} + C$ - **Não derivável em:** $x = 0$ (um bico) - **Simetria:** Par: $|-x| = |x|$ ## Pontos principais - O módulo $|x|$ é a distância de $x$ até $0$, então nunca é negativo e seu gráfico tem forma de V. - É contínua em todo ponto, mas não é derivável em $x = 0$, onde o gráfico forma um bico. - Para $x \ne 0$, sua derivada é $\frac{x}{|x|}$, que vale $1$ para $x > 0$ e $-1$ para $x < 0$. - Para integrar $|x|$ num intervalo que contém $0$, divida a integral em $0$. A **função módulo** (ou função valor absoluto) $f(x) = |x|$ dá a distância de $x$ até $0$ na reta numérica, então elimina qualquer sinal negativo: $|3| = 3$ e $|-3| = 3$. Seu gráfico em forma de V é o exemplo clássico de uma função contínua em todo ponto, mas com um ponto onde a derivada não existe. ## Fórmula $$|x| = \begin{cases} x & x \ge 0 \\ -x & x < 0 \end{cases}$$ É uma [função definida por partes](/functions/piecewise-functions) formada por duas [funções afins](/functions/linear-function). De forma equivalente, $|x| = \sqrt{x^2}$, o que a liga à [função raiz quadrada](/functions/square-root-function). ## Gráfico de |x| ```graph title: 'Gráfico da função módulo y = |x|' caption: 'O gráfico é um V com vértice na origem. A inclinação é $-1$ à esquerda e $1$ à direita, então há um bico em $x = 0$.' x: [-4, 4] y: [-1, 4] functions: - expr: abs(x) label: y = |x| points: - [0, 0, 'bico (0, 0)'] ``` A forma geral $y = a|x - h| + k$ é um V com vértice $(h, k)$, aberto para cima se $a > 0$ e para baixo se $a < 0$, com inclinações laterais $\pm a$. ## Propriedades principais - **Domínio** todos os reais; **imagem** $[0, \infty)$. - **Função par:** $|-x| = |x|$, simétrica em relação ao eixo $y$. - **Contínua em todo ponto**, inclusive em $0$. - **Mínimo absoluto** igual a $0$ em $x = 0$, que é um ponto crítico porque $f'(0)$ não existe. - **Desigualdade triangular:** $|a + b| \le |a| + |b|$. - **Produtos se separam, somas não:** $|ab| = |a||b|$, mas $|a + b|$ em geral não é $|a| + |b|$. ## Derivada de |x| Para $x \ne 0$: $$\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|} = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ -1 & x < 0 \end{cases}$$ Em $x = 0$, os limites laterais do quociente de Newton são $$\lim_{h \to 0^+}\frac{|h|}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-}\frac{|h|}{h} = -1$$ Eles são diferentes, então $f'(0)$ não existe. Este é o caso clássico de [quando a derivada não existe](/blog/limit-definition-of-the-derivative): um bico. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}|g(x)| = \frac{g(x)}{|g(x)|}g'(x)$ sempre que $g(x) \ne 0$. ## Integral de |x| $$\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$$ Confira por partes: para $x > 0$ ela vale $\frac{x^2}{2}$, com derivada $x = |x|$; para $x < 0$ ela vale $-\frac{x^2}{2}$, com derivada $-x = |x|$. Numa integral definida, divida no ponto onde a expressão de dentro muda de sinal. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: integral definida.** Calcule $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ dividindo em $0$: $$\int_{-1}^{0}(-x)\,dx + \int_{0}^{2}x\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$$ Geometricamente, são dois triângulos com áreas $\frac{1}{2}$ e $2$. **Exemplo 2: um módulo deslocado.** $g(x) = |x - 3|$ tem derivada $1$ para $x > 3$ e $-1$ para $x < 3$, e não é derivável em $x = 3$. **Exemplo 3: regra da cadeia.** Para $x \ne 2$, $\frac{d}{dx}|2x - 4| = \frac{2x - 4}{|2x - 4|} \cdot 2$, que vale $2$ para $x > 2$ e $-2$ para $x < 2$. **Exemplo 4: um limite.** $\lim_{x \to 0}\frac{|x|}{x}$ não existe, porque vale $1$ pela direita e $-1$ pela esquerda. ## Erros comuns 1. **Dizer que $|x|$ não é contínua em $0$.** Ela é contínua; apenas não é derivável ali. 2. **Escrever $|{-x}| = -|x|$.** O módulo nunca é negativo: $|-x| = |x|$. 3. **Integrar atravessando $0$ sem dividir.** $\int_{-1}^{2}|x|\,dx$ não é $\frac{2^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2}$. 4. **Esquecer que é um ponto crítico.** Ao procurar extremos, inclua os pontos onde a derivada não existe, como o vértice de um V. ## Como se conecta O módulo aparece em $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$, na definição épsilon-delta de limite e na convergência absoluta de séries nos [testes de convergência](/blog/convergence-tests). Para saber mais sobre bicos e outros pontos onde a derivada não existe, veja o guia de [continuidade](/blog/continuity). ## Perguntas frequentes ### Qual é a derivada de |x|? Para $x \ne 0$, $\frac{d}{dx}|x| = \frac{x}{|x|}$, que vale $1$ quando $x > 0$ e $-1$ quando $x < 0$. Em $x = 0$ a derivada não existe. ### Por que |x| não é derivável em 0? A inclinação pela direita é $1$ e pela esquerda é $-1$. Como os limites laterais do quociente de Newton são diferentes, a derivada em $0$ não existe, e o gráfico mostra um bico. ### A função módulo é contínua? Sim. $|x|$ é contínua em todo número real, inclusive em $0$, onde os dois limites laterais valem $0 = |0|$. Ela mostra que continuidade não implica derivabilidade. ### Qual é a integral de |x|? Uma primitiva é $\frac{x|x|}{2}$, então $\int |x|\,dx = \frac{x|x|}{2} + C$. Em integrais definidas costuma ser mais fácil dividir em $0$, por exemplo $\int_{-1}^{2}|x|\,dx = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.