# Função quadrática: gráfico, vértice, derivada e integral

> A função quadrática f(x) = ax² + bx + c: gráfico da parábola, fórmula do vértice, raízes, derivada 2ax + b, integral e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-quadratica
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \ne 0 $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** $\left[f\left(-\frac{b}{2a}\right), \infty\right)$ se $a > 0$
- **Derivada:** $2ax + b$
- **Integral:** $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$
- **Vértice:** $x = -\frac{b}{2a}$
- **Raízes:** $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

## Pontos principais

- O gráfico de $f(x) = ax^2 + bx + c$ é uma parábola com concavidade para cima se $a > 0$ e para baixo se $a < 0$.
- A derivada $f'(x) = 2ax + b$ se anula no vértice $x = -\frac{b}{2a}$.
- A segunda derivada é a constante $2a$, então uma função quadrática tem concavidade para cima em todos os pontos ou para baixo em todos os pontos.
- Sua integral é uma cúbica: $\frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

Uma **função quadrática** (ou função do segundo grau) é um polinômio de grau dois. Seu gráfico é uma **parábola**, uma curva simétrica em forma de U com um único ponto de virada, chamado vértice. Funções quadráticas modelam a altura de um projétil, áreas e lucros, e são as primeiras curvas em que a derivada revela algo que não se vê em uma reta.

## Fórmula e formas

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \qquad a \ne 0$$

| Forma | Equação | Mostra |
| --- | --- | --- |
| Geral | $ax^2 + bx + c$ | intersecção com o eixo $y$ em $c$ |
| Canônica | $a(x - h)^2 + k$ | vértice $(h, k)$ |
| Fatorada | $a(x - r_1)(x - r_2)$ | raízes $r_1, r_2$ |

## Gráfico de uma função quadrática

```graph
title: 'Gráfico da parábola y = x² - 2x - 3 e de sua derivada y = 2x - 2'
caption: 'O vértice está em $(1, -4)$, exatamente onde a derivada passa por zero. As raízes são $x = -1$ e $x = 3$.'
x: [-3, 5]
y: [-6, 8]
functions:
  - expr: x^2 - 2x - 3
    label: y = x² - 2x - 3
  - expr: 2x - 2
    label: y = 2x - 2 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [1, -4, 'vértice (1, -4)']
  - [-1, 0, '(-1, 0)']
  - [3, 0, '(3, 0)']
```

Características principais:

- **Concavidade.** Para cima se $a > 0$ (o vértice é um mínimo), para baixo se $a < 0$ (o vértice é um máximo).
- **Eixo de simetria.** A reta vertical $x = -\frac{b}{2a}$.
- **Raízes.** Pela fórmula de Bhaskara, $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$. O discriminante $b^2 - 4ac$ indica se há duas, uma ou nenhuma raiz real.
- **Imagem.** $\left[k, \infty\right)$ se $a > 0$ e $\left(-\infty, k\right]$ se $a < 0$, em que $k$ é a altura do vértice.

## Derivada de uma função quadrática

Pela [regra da potência](/rules/power-rule) e pela [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule):

$$f'(x) = 2ax + b, \qquad f''(x) = 2a$$

A derivada de uma função quadrática é uma [função afim](/functions/linear-function). Ela se anula em exatamente um ponto, $x = -\frac{b}{2a}$, que é o vértice. A segunda derivada é a constante $2a$, então a parábola tem concavidade para cima em todos os pontos quando $a > 0$ e concavidade para baixo em todos os pontos quando $a < 0$. É por isso que o vértice é sempre o extremo absoluto.

## Integral de uma função quadrática

$$\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$$

O $c$ minúsculo é o termo independente da função quadrática; o $C$ maiúsculo é a constante de integração.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: vértice com cálculo.** Para $f(x) = x^2 - 2x - 3$, $f'(x) = 2x - 2 = 0$ dá $x = 1$, e $f(1) = -4$. O vértice é $(1, -4)$, um mínimo porque $a = 1 > 0$.

**Exemplo 2: altura máxima.** A altura de uma bola é $h(t) = -5t^2 + 20t + 1$ metros. Então $h'(t) = -10t + 20 = 0$ em $t = 2$, e a altura máxima é $h(2) = -20 + 40 + 1 = 21$ metros.

**Exemplo 3: área sob uma parábola.** Calcule $\int_0^3 (x^2 + 1)\,dx$:

$$\left[\tfrac{x^3}{3} + x\right]_0^3 = (9 + 3) - 0 = 12$$

**Exemplo 4: reta tangente.** Para $f(x) = x^2 - 2x - 3$ em $x = 3$: $f(3) = 0$ e $f'(3) = 4$, então a reta tangente é $y = 4(x - 3) = 4x - 12$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o sinal de menos em $-\frac{b}{2a}$.** Para $x^2 - 2x - 3$, $b = -2$, então o vértice está em $x = -\frac{-2}{2} = 1$.
2. **Derivar $ax^2$ como $ax$.** O expoente desce multiplicando: $\frac{d}{dx}3x^2 = 6x$.
3. **Integrar $x^2$ como $\frac{x^3}{2}$.** Divida pelo novo expoente, $3$.
4. **Expandir $(x - 2)^2$ como $x^2 + 4$.** A expansão correta é $x^2 - 4x + 4$.

## Como se conecta

As funções quadráticas são as [funções polinomiais](/functions/polynomial-functions) mais simples com curvatura, por isso são os primeiros exemplos clássicos em [problemas de otimização](/blog/optimization-problems), [esboço de gráficos](/blog/curve-sketching-with-derivatives) e [área entre curvas](/blog/area-between-curves). O polinômio de Taylor de segundo grau de qualquer função suave é uma função quadrática, e é por isso que parábolas aproximam tantas curvas perto de um ponto.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de uma função quadrática?

A derivada de $ax^2 + bx + c$ é $2ax + b$, obtida aplicando a regra da potência termo a termo. Por exemplo, a derivada de $3x^2 - 5x + 2$ é $6x - 5$.

### Como encontrar o vértice de uma parábola usando cálculo?

Iguale a derivada a zero: $2ax + b = 0$ dá $x = -\frac{b}{2a}$. Substitua esse $x$ em $f$ para obter a coordenada $y$ do vértice.

### Como integrar uma função quadrática?

Use a regra da potência inversa em cada termo: $\int (ax^2 + bx + c)\,dx = \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + cx + C$.

### Como saber se a parábola tem concavidade para cima ou para baixo?

Observe o sinal de $a$, o coeficiente de $x^2$. Se $a > 0$, a concavidade é para cima e o vértice é um mínimo; se $a < 0$, a concavidade é para baixo e o vértice é um máximo.