# Função raiz quadrada √x: gráfico, domínio, derivada e integral

> A função raiz quadrada f(x) = √x: domínio e gráfico, a derivada 1/(2√x), a integral (2/3)x^(3/2) + C e a reta tangente vertical em 0.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-raiz-quadrada
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2} $$

## Visão geral

- **Domínio:** $[0, \infty)$
- **Imagem:** $[0, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{2\sqrt{x}}$
- **Integral:** $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$
- **Não diferenciável em:** $x = 0$ (tangente vertical)
- **Inversa:** $x^2$ para $x \ge 0$

## Pontos principais

- A função raiz quadrada $\sqrt{x} = x^{1/2}$ só está definida para $x \ge 0$ e devolve a raiz não negativa.
- Sua derivada é $\frac{1}{2\sqrt{x}}$, que explode em $x = 0$, então o gráfico tem uma reta tangente vertical ali.
- Sua integral é $\frac{2}{3}x^{3/2} + C$, pela regra da potência inversa.
- Reescreva raízes como potências de expoente fracionário antes de derivar ou integrar.

A **função raiz quadrada** $f(x) = \sqrt{x}$ devolve o número não negativo cujo quadrado é $x$. Ela é a inversa de $x^2$ para $x \ge 0$, a função potência com expoente $\frac{1}{2}$ e o exemplo clássico de uma função que é contínua em um ponto, mas não é diferenciável ali.

## Fórmula

$$f(x) = \sqrt{x} = x^{1/2}, \qquad x \ge 0$$

Por convenção, $\sqrt{x}$ indica a raiz **principal** (não negativa), então $\sqrt{9} = 3$, e não $\pm 3$. Como consequência, $\sqrt{x^2} = |x|$ para todo $x$ real.

## Gráfico da função raiz quadrada

```graph
title: 'Gráfico de y = √x e da sua derivada y = 1/(2√x)'
caption: 'A raiz quadrada sobe rápido perto de $0$ e depois se achata. Sua derivada é enorme perto de $0$ e diminui em direção a $0$ conforme $x$ cresce.'
x: [-0.5, 9]
y: [-0.5, 4]
functions:
  - expr: sqrt(x)
    label: y = √x
  - expr: 1/(2sqrt(x))
    label: y = 1/(2√x) (derivada)
    dashed: true
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [4, 2, '(4, 2)']
```

## Propriedades principais

- **Domínio e imagem:** ambos $[0, \infty)$.
- **Crescente** em todo o domínio, já que sua derivada é positiva para $x > 0$.
- **Concavidade para baixo:** $f''(x) = -\frac{1}{4}x^{-3/2} < 0$ para $x > 0$, então ela cresce cada vez mais devagar.
- **Contínua em $0$** pela direita, com $\lim_{x \to 0^+}\sqrt{x} = 0$.
- **Não diferenciável em $0$**, onde a reta tangente é vertical.
- **Ilimitada, mas lenta:** $\sqrt{x} \to \infty$ quando $x \to \infty$, mais devagar que qualquer potência positiva $x^p$ com $p > \frac{1}{2}$.
- **Reflexo de uma parábola:** o gráfico é a metade direita de $y = x^2$ refletida em relação à reta $y = x$.

## Derivada de √x

Usando a [regra da potência](/rules/power-rule) em $x^{1/2}$:

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}, \qquad x > 0$$

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), isso vira o padrão geral

$$\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$$

## Integral de √x

$$\int \sqrt{x}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$$

Some um ao expoente ($\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$) e divida por $\frac{3}{2}$, o que é o mesmo que multiplicar por $\frac{2}{3}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: reta tangente.** Em $x = 4$, $f(4) = 2$ e $f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$. A reta tangente é $y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{1}{4}x + 1$.

**Exemplo 2: aproximação linear.** Usando essa reta tangente, $\sqrt{4.2} \approx \frac{1}{4}(4.2) + 1 = 2.05$. O valor real é aproximadamente $2.0494$. Veja [aproximação linear](/blog/linear-approximation).

**Exemplo 3: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\sqrt{3x + 1} = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$.

**Exemplo 4: integral definida.** $\int_0^4 \sqrt{x}\,dx = \left[\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_0^4 = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$.

**Exemplo 5: domínio.** $\sqrt{4 - x^2}$ exige $4 - x^2 \ge 0$, então o domínio é $[-2, 2]$. Seu gráfico é a metade superior da circunferência $x^2 + y^2 = 4$.

## Erros comuns

1. **Separar a raiz de uma soma.** $\sqrt{x^2 + 9} \ne x + 3$. Raízes se separam em produtos, $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ para $a, b \ge 0$, mas nunca em somas.
2. **Escrever a derivada como $\frac{1}{\sqrt{x}}$ ou $2\sqrt{x}$.** O fator é $\frac{1}{2}$ e a raiz fica no denominador.
3. **Integrar e obter $\frac{3}{2}x^{3/2}$.** Divida por $\frac{3}{2}$; não multiplique.
4. **Supor que $\sqrt{x^2} = x$.** Ela é igual a $|x|$, o que importa quando $x$ pode ser negativo.

## Como tudo se conecta

Raízes quadradas aparecem no comprimento de arco, nas fórmulas de distância e em integrais de [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) como $\int \sqrt{1 - x^2}\,dx$. Elas fazem parte das [funções potência](/functions/power-functions), e $\sqrt{x^2} = |x|$ as liga à [função módulo](/functions/absolute-value-function).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada da raiz quadrada de x?

Escreva $\sqrt{x} = x^{1/2}$ e aplique a regra da potência: $\frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$. Ela está definida para $x > 0$.

### Qual é a integral da raiz quadrada de x?

$\int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C$.

### A função raiz quadrada é diferenciável em 0?

Não. A derivada $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ cresce sem limite quando $x \to 0^+$, então o gráfico tem uma reta tangente vertical na origem e nenhuma inclinação finita ali.

### Qual é o domínio da função raiz quadrada?

O domínio é $x \ge 0$, porque um número negativo não tem raiz quadrada real. Para $\sqrt{g(x)}$, resolva $g(x) \ge 0$.

### Como derivar a raiz quadrada de uma função?

Use a regra da cadeia: $\frac{d}{dx}\sqrt{g(x)} = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}\sqrt{x^2 + 1} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.