# Função recíproca f(x) = 1/x: gráfico, derivada, integral e limites

> A função recíproca 1/x: o gráfico em hipérbole e suas assíntotas, a derivada -1/x², por que a integral é ln|x| + C e os limites laterais.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-reciproca
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{1}{x} $$

## Visão geral

- **Domínio:** $x \ne 0$
- **Imagem:** $y \ne 0$
- **Derivada:** $-\frac{1}{x^2}$
- **Integral:** $\ln|x| + C$
- **Assíntotas:** $x = 0$ e $y = 0$
- **Simetria:** Ímpar: $f(-x) = -f(x)$

## Pontos principais

- A função recíproca $f(x) = \frac{1}{x}$ está definida para todo $x$ exceto $0$, e seu gráfico é uma hipérbole.
- Sua derivada é $-\frac{1}{x^2}$, negativa em todo ponto, então ela é decrescente em cada parte do domínio.
- Sua integral é $\ln|x| + C$, o único caso que a regra da potência inversa não resolve.
- Os limites laterais em $0$ são $+\infty$ e $-\infty$, então $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ não existe.

A **função recíproca** $f(x) = \frac{1}{x}$ leva cada número ao seu inverso, um dividido por ele mesmo. Ela é a [função racional](/functions/rational-functions) mais simples, a função potência com expoente $-1$ e o exemplo clássico de limites infinitos, assíntotas e da derivada do logaritmo natural.

## Fórmula

$$f(x) = \frac{1}{x} = x^{-1}, \qquad x \ne 0$$

## Gráfico de 1/x

O gráfico é uma **hipérbole** com dois ramos, um no primeiro quadrante e outro no terceiro.

```graph
title: 'Gráfico da função recíproca y = 1/x'
caption: 'O gráfico se aproxima da assíntota vertical $x = 0$ e da assíntota horizontal $y = 0$ sem tocar nenhuma delas.'
x: [-5, 5]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [-1, -1, '(-1, -1)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propriedades principais

- **Domínio e imagem.** Todos os reais exceto $0$, nos dois casos.
- **Função ímpar.** $\frac{1}{-x} = -\frac{1}{x}$, então o gráfico é simétrico em relação à origem.
- **Assíntotas.** Assíntota vertical $x = 0$, assíntota horizontal $y = 0$.
- **É a sua própria inversa.** Resolvendo $y = \frac{1}{x}$ para $x$ obtemos $x = \frac{1}{y}$, então $f^{-1} = f$ e o gráfico é simétrico em relação a $y = x$.
- **Descontínua apenas em $0$,** que não pertence ao domínio. Ela é contínua no seu domínio.

## Limites de 1/x

$$\lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x} = -\infty, \qquad \lim_{x \to \pm\infty}\frac{1}{x} = 0$$

Como os limites laterais em $0$ são diferentes, $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x}$ não existe. O limite no infinito é a peça básica dos [limites no infinito](/blog/limits-at-infinity) de toda função racional.

## Derivada de 1/x

$$\frac{d}{dx}\,\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$$

Isso decorre da [regra da potência](/rules/power-rule) com $n = -1$. A derivada é negativa em todo ponto onde está definida, então a função é decrescente em cada ramo, e as retas tangentes ficam mais íngremes perto de $0$ e mais planas longe dele. A segunda derivada é $\frac{2}{x^3}$: concavidade para cima para $x > 0$ e concavidade para baixo para $x < 0$.

## Integral de 1/x

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

A regra da potência inversa daria $\frac{x^0}{0}$, que não está definido, então $\frac{1}{x}$ é a única potência cuja integral é um [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm). O valor absoluto cobre os $x$ negativos: para $x < 0$, $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$.

Uma integral definida não pode atravessar $x = 0$: $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals) que diverge.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: reta tangente.** Em $x = 2$, $f(2) = \frac{1}{2}$ e $f'(2) = -\frac{1}{4}$, então a reta tangente é $y = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2) = -\frac{1}{4}x + 1$.

**Exemplo 2: integral definida.** $\int_1^e \frac{1}{x}\,dx = \ln e - \ln 1 = 1$.

**Exemplo 3: uma recíproca deslocada.** $\frac{d}{dx}\frac{3}{x - 1} = -\frac{3}{(x - 1)^2}$ e $\int \frac{3}{x - 1}\,dx = 3\ln|x - 1| + C$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{x^0}{0}$** ou $\ln x$ sem o valor absoluto.
2. **Errar o sinal da derivada.** $\frac{d}{dx}\frac{1}{x}$ é $-\frac{1}{x^2}$, e não $\frac{1}{x^2}$.
3. **Confundir $\frac{1}{x}$ com $x^{-1}$ no sentido de função inversa.** $\frac{1}{f(x)}$ é uma recíproca, enquanto $f^{-1}(x)$ normalmente indica a inversa. Para $\frac{1}{x}$ as duas coincidem, o que é incomum.
4. **Integrar atravessando a assíntota** como se a função fosse contínua ali.

## Como tudo se conecta

A área sob $\frac{1}{t}$ de $1$ até $x$ é exatamente $\ln x$, que é uma das formas de definir o logaritmo natural. A página de [funções potência](/functions/power-functions) trata da família $x^n$ à qual $\frac{1}{x}$ pertence, e a série harmônica $\sum \frac{1}{n}$ é a sua prima discreta.

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de 1/x?

Escreva $\frac{1}{x} = x^{-1}$ e use a regra da potência: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

### Qual é a integral de 1/x?

A integral é $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$. A regra da potência inversa falha aqui porque dividiria por $n + 1 = 0$. O valor absoluto faz a fórmula valer também para $x$ negativo.

### Qual é o limite de 1/x quando x tende a 0?

O limite não existe. Pela direita $\frac{1}{x} \to +\infty$ e pela esquerda $\frac{1}{x} \to -\infty$, então os dois limites laterais são diferentes.

### 1/x é decrescente?

Ela é decrescente em $(-\infty, 0)$ e em $(0, \infty)$ separadamente, já que sua derivada é negativa. Ela não é decrescente no domínio inteiro, porque $\frac{1}{-1} = -1 < 1 = \frac{1}{1}$.