# Função seno sen(x): gráfico, derivada, integral e propriedades > A função seno: gráfico, domínio, imagem, período, valores notáveis, a derivada cos(x), a integral e os erros mais comuns dos estudantes. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-seno Atualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = \sin x $$ ## Visão geral - **Domínio:** $(-\infty, \infty)$ - **Imagem:** $[-1, 1]$ - **Derivada:** $\cos x$ - **Integral:** $-\cos x + C$ - **Período:** $2\pi$ - **Simetria:** Ímpar: $\sin(-x) = -\sin x$ ## Pontos principais - $\sin x$ é a coordenada $y$ do ponto de ângulo $x$ (em radianos) no círculo unitário. - Ela se repete a cada $2\pi$, fica entre $-1$ e $1$ e é uma função ímpar. - A derivada de $\sin x$ é $\cos x$, e $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$. - As fórmulas de cálculo para o seno só valem quando $x$ é medido em radianos. A **função seno** recebe um ângulo $x$, medido em radianos, e devolve a coordenada $y$ do ponto correspondente a esse ângulo no círculo unitário. Ela gera a onda suave e periódica por trás do som, da luz, das marés e de tudo que oscila, e é um dos dois blocos fundamentais (junto com o [cosseno](/functions/cosine-function)) de todas as outras funções trigonométricas. ## Definição de sen x Comece no ponto $(1, 0)$ do círculo unitário e percorra uma distância $x$ no sentido anti-horário (horário se $x$ for negativo). Você chega ao ponto $(\cos x, \sin x)$. Assim, $$\sin x = \text{the } y\text{-coordinate of the point at angle } x.$$ Num triângulo retângulo isso coincide com a razão conhecida $\sin\theta = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$ (cateto oposto sobre hipotenusa), mas a versão do círculo unitário funciona para qualquer número real, incluindo ângulos negativos e ângulos maiores que $2\pi$. ## Gráfico de y = sen x ```graph title: 'Gráfico de y = sen x de −2π a 2π' caption: 'A senoide corta o zero em todo múltiplo de $\pi$, atinge o máximo em $1$ e o mínimo em $-1$. Ela se repete a cada $2\pi$.' x: [-6.6, 6.6] y: [-1.6, 1.6] functions: - expr: sin(x) label: y = sen x points: - [0, 0, '(0, 0)'] - [1.5708, 1, '(π/2, 1)'] - [3.1416, 0, '(π, 0)'] - [4.7124, -1, '(3π/2, −1)'] ``` O gráfico passa pela origem, sobe até o máximo em $x = \frac{\pi}{2}$, volta a zero em $x = \pi$, chega ao mínimo em $x = \frac{3\pi}{2}$ e completa um ciclo inteiro em $x = 2\pi$. ## Valores notáveis do seno | $x$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\frac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ | | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | | $\sin x$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $-1$ | $0$ | ## Propriedades da função seno - **Domínio e imagem.** Qualquer número real é permitido, e a saída sempre fica em $[-1, 1]$. - **Período.** $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. De forma mais geral, $A\sin(bx)$ tem amplitude $|A|$ e período $\frac{2\pi}{|b|}$. - **Zeros.** $\sin x = 0$ exatamente quando $x = k\pi$ para algum inteiro $k$. - **Simetria ímpar.** $\sin(-x) = -\sin x$, então o gráfico é simétrico em relação à origem. - **Identidade pitagórica.** $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ para todo $x$. - **Relação de deslocamento.** $\sin x = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$: a senoide é uma cossenoide deslocada $\frac{\pi}{2}$ para a direita. ## Derivada de sen x $$\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$$ Dá para ler isso no gráfico: o seno é mais inclinado (inclinação $1$) em $x = 0$, onde $\cos 0 = 1$, e fica plano no pico $x = \frac{\pi}{2}$, onde $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. A demonstração usa o limite $\lim_{h \to 0}\frac{\sin h}{h} = 1$, e é por isso que os radianos são obrigatórios. Derivando de novo obtemos $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = -\sin x$, e as derivadas percorrem o ciclo $\sin, \cos, -\sin, -\cos$ a cada quatro passos. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\cdot u'$. ## Integral de sen x $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ Confira derivando: $\frac{d}{dx}(-\cos x) = -(-\sin x) = \sin x$. Sob um arco a área é $\int_0^{\pi}\sin x\,dx = -\cos\pi + \cos 0 = 2$, e ao longo de um período completo a área com sinal é $\int_0^{2\pi}\sin x\,dx = 0$. ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1: regra da cadeia.** Derive $f(x) = \sin(x^2)$. A função de dentro é $x^2$, com derivada $2x$, então $f'(x) = 2x\cos(x^2)$. **Exemplo 2: regra do produto.** Derive $g(x) = x\sin x$. Pela [regra do produto](/rules/product-rule), $g'(x) = \sin x + x\cos x$. **Exemplo 3: substituição.** Calcule $\int \sin(5x)\,dx$. Tome $u = 5x$, então $du = 5\,dx$: $$\int \sin(5x)\,dx = \frac{1}{5}\int \sin u\,du = -\frac{1}{5}\cos(5x) + C$$ **Exemplo 4: um limite famoso.** $\lim_{x \to 0}\frac{\sin(3x)}{x} = 3\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3$. ## Erros comuns 1. **Sinal errado na integral.** $\int\sin x\,dx$ é $-\cos x + C$, e não $\cos x + C$. A derivada não tem sinal de menos; a integral tem. 2. **Usar graus.** $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ é falso se $x$ estiver em graus. Coloque a calculadora em radianos. 3. **Tratar $\sin$ como multiplicação.** $\sin(2x) \ne 2\sin x$ e $\sin(a + b) \ne \sin a + \sin b$. 4. **Confundir $\sin^{-1}x$ com $\frac{1}{\sin x}$.** $\sin^{-1}x$ é a função inversa [arco-seno](/functions/arcsine), enquanto $\frac{1}{\sin x}$ é a [cossecante](/functions/reciprocal-trig-functions). ## Como o seno se conecta a outros temas Seno e cosseno definem o resto da família: a [tangente](/functions/tangent-function) é $\frac{\sin x}{\cos x}$, e secante, cossecante e cotangente são recíprocas. Sua inversa em $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ é o [arco-seno](/functions/arcsine). No Cálculo 2, o seno aparece na [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) e tem a [série de Taylor](/blog/taylor-series) $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$. Para saber mais sobre como derivar cada função trigonométrica, leia o guia de [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions). ## Perguntas frequentes ### Qual é a derivada de sen x? A derivada de $\sin x$ é $\cos x$. Com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\sin(u) = \cos(u)\,u'$, então, por exemplo, $\frac{d}{dx}\sin(3x) = 3\cos(3x)$. ### Qual é a integral de sen x? A antiderivada de $\sin x$ é $-\cos x + C$. O sinal de menos aparece porque a derivada de $\cos x$ é $-\sin x$. ### Qual é o período de sen x? O período é $2\pi$, então $\sin(x + 2\pi) = \sin x$ para todo $x$. A função $\sin(bx)$ tem período $\frac{2\pi}{|b|}$. ### Por que x precisa estar em radianos no cálculo com o seno? O limite fundamental $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$ só é verdadeiro em radianos. Em graus, a derivada do seno teria um fator extra de $\frac{\pi}{180}$. ### O seno é uma função par ou ímpar? O seno é ímpar: $\sin(-x) = -\sin x$. Seu gráfico é simétrico em relação à origem.