# Função tangente tg(x): gráfico, assíntotas, derivada e integral

> A função tangente tg(x) = sen(x)/cos(x): gráfico, assíntotas verticais, período π, derivada sec²(x), integral ln|sec x| + C e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcao-tangente
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} $$

## Visão geral

- **Domínio:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Imagem:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\sec^2 x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x\rvert + C$
- **Período:** $\pi$
- **Assíntotas:** $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, com $k$ inteiro

## Pontos principais

- $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$, a inclinação da reta que liga a origem ao ponto de ângulo $x$ no círculo unitário.
- Ela tem período $\pi$ e assíntotas verticais onde $\cos x = 0$.
- A derivada é $\sec^2 x$ e a integral é $\ln|\sec x| + C = -\ln|\cos x| + C$.

A **função tangente** é a razão $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Geometricamente, ela é a inclinação da reta que liga a origem ao ponto de ângulo $x$ no círculo unitário. Diferente do [seno](/functions/sine-function) e do [cosseno](/functions/cosine-function), ela é ilimitada e tem uma assíntota vertical toda vez que o cosseno vale zero.

## Definição de tg x

$$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, \qquad \cos x \ne 0$$

Num triângulo retângulo, isso é $\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}$ (cateto oposto sobre cateto adjacente). Como a reta que passa pela origem com ângulo $x$ tem inclinação $\tan x$, a tangente é o que converte um ângulo em uma inclinação, e o [arco-tangente](/functions/arctangent) converte uma inclinação de volta em um ângulo.

## Gráfico de y = tg x

```graph
title: 'Gráfico de y = tg x com assíntotas verticais em x = ±π/2'
caption: 'Cada ramo sobe de $-\infty$ a $\infty$ entre assíntotas consecutivas. O padrão se repete a cada $\pi$.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: tan(x)
    label: y = tg x
points:
  - [0, 0, '(0, 0)']
  - [0.7854, 1, '(π/4, 1)']
  - [-0.7854, -1, '(−π/4, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

## Valores notáveis da tangente

| $x$ | $-\frac{\pi}{3}$ | $-\frac{\pi}{4}$ | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\tan x$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $0$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | não definida |

## Propriedades da função tangente

- **Domínio.** Todos os números reais exceto $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
- **Imagem.** Todos os números reais.
- **Período.** $\tan(x + \pi) = \tan x$, então o período é $\pi$, e não $2\pi$.
- **Zeros.** $\tan x = 0$ em $x = k\pi$, os mesmos zeros do seno.
- **Simetria ímpar.** $\tan(-x) = -\tan x$.
- **Sempre crescente.** Em cada ramo a inclinação $\sec^2 x$ é pelo menos $1$, então o gráfico nunca se achata.
- **Limites laterais.** $\lim_{x \to \pi/2^-}\tan x = \infty$ e $\lim_{x \to \pi/2^+}\tan x = -\infty$. Veja [limites no infinito](/blog/limits-at-infinity) para saber mais sobre assíntotas.
- **Identidade.** $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$, obtida dividindo $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ por $\cos^2 x$.

## Derivada de tg x

Aplique a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) a $\frac{\sin x}{\cos x}$:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x\cdot\cos x - \sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$$

Em $x = 0$ a inclinação é $\sec^2 0 = 1$, o que confere com o gráfico cruzando a origem num ângulo de 45 graus.

## Integral de tg x

Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e tome $u = \cos x$, de modo que $du = -\sin x\,dx$:

$$\int \tan x\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C$$

As duas formas são iguais porque $-\ln|\cos x| = \ln\frac{1}{|\cos x|}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\tan(3x) = 3\sec^2(3x)$.

**Exemplo 2: uma potência da tangente.** $\frac{d}{dx}\tan^2 x = 2\tan x\sec^2 x$.

**Exemplo 3: uma integral usando a identidade.** Como $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$,

$$\int \tan^2 x\,dx = \int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C$$

**Exemplo 4: uma integral definida.** $\int_0^{\pi/4}\sec^2 x\,dx = \tan\frac{\pi}{4} - \tan 0 = 1$.

## Erros comuns

1. **Achar que o período é $2\pi$.** A tangente se repete a cada $\pi$, porque $\sin$ e $\cos$ trocam de sinal depois de meia volta e os sinais se cancelam.
2. **Escrever $\int\tan x\,dx = \sec^2 x$.** Isso está invertido: $\sec^2 x$ é a derivada. A integral precisa de um logaritmo.
3. **Esquecer o valor absoluto.** $\ln|\cos x|$ precisa das barras porque $\cos x$ é negativo em partes do domínio.
4. **Ignorar as assíntotas.** Você não pode integrar $\tan x$ atravessando $x = \frac{\pi}{2}$ com o Teorema Fundamental; isso seria uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals), e ela diverge.

## Como a tangente se conecta a outros temas

A tangente forma par com a secante em derivadas e integrais, então vale a pena estudar junto suas irmãs, as [funções trigonométricas recíprocas](/functions/reciprocal-trig-functions). Sua inversa, o [arco-tangente](/functions/arctangent), é a antiderivada de $\frac{1}{1+x^2}$, e a substituição $x = \tan\theta$ é uma ferramenta essencial da [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution). Para ver as seis derivadas trigonométricas num só lugar, leia [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de tg x?

A derivada de $\tan x$ é $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$. Ela vem da regra do quociente aplicada a $\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Qual é a integral de tg x?

A integral é $\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C$, que é o mesmo que $\ln|\sec x| + C$. Escreva $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ e substitua $u = \cos x$.

### Qual é o período de tg x?

O período de $\tan x$ é $\pi$, metade do período do seno e do cosseno. A função $\tan(bx)$ tem período $\frac{\pi}{|b|}$.

### Onde tg x tem assíntotas verticais?

Em todo $x$ onde $\cos x = 0$, ou seja, $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ para qualquer inteiro $k$.