# Funções definidas por partes: gráficos, limites e continuidade

> Funções definidas por partes: como ler e esboçar o gráfico, calcular limites laterais, verificar continuidade e derivabilidade e integrar.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-definidas-por-partes
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \begin{cases} f_1(x) & x < a \\ f_2(x) & x \ge a \end{cases} $$

## Visão geral

- **Domínio:** A união dos intervalos cobertos pelas partes
- **Contínua em x = a:** Quando $\lim_{x\to a^-}f_1(x) = \lim_{x\to a^+}f_2(x) = f(a)$
- **Derivada:** $f'(x) = \begin{cases} f_1'(x) & x < a \\ f_2'(x) & x > a \end{cases}$
- **Integral:** $\int_b^c f(x)\,dx = \int_b^a f_1(x)\,dx + \int_a^c f_2(x)\,dx$
- **Exemplos:** Módulo, função piso, faixas de imposto de renda, tabelas de frete

## Pontos principais

- Uma função definida por partes usa fórmulas diferentes em intervalos diferentes do seu domínio.
- Em um ponto de quebra, compare o limite lateral à esquerda, o limite lateral à direita e o valor da função para testar a continuidade.
- Derive cada parte no seu intervalo aberto e depois analise os pontos de quebra separadamente com derivadas laterais.
- Para integrar passando por um ponto de quebra, divida a integral nesse ponto.

Uma **função definida por partes** é uma função dada por fórmulas diferentes em partes diferentes do seu domínio. A regra indica qual fórmula usar de acordo com a posição de $x$. Funções definidas por partes são os casos de teste clássicos para [limites](/blog/what-is-a-limit), [continuidade](/blog/continuity) e derivabilidade, porque o comportamento interessante acontece onde as partes se encontram.

## Como ler uma função definida por partes

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & x < 1 \\ 3 - x & x \ge 1 \end{cases}$$

Para calcular um valor, primeiro descubra qual condição $x$ satisfaz e depois use apenas aquela parte. Aqui $f(0) = 0^2 = 0$, $f(1) = 3 - 1 = 2$ (porque $x \ge 1$ inclui o $1$) e $f(2) = 3 - 2 = 1$.

## Gráfico de uma função definida por partes

```graph
title: 'Gráfico de uma função definida por partes com um salto em x = 1'
caption: 'A parte da esquerda, $x^2$, se aproxima da bolinha aberta em $(1, 1)$. A parte da direita, $3 - x$, começa na bolinha fechada $(1, 2)$, que é o valor real $f(1)$.'
x: [-2, 4]
y: [-1.5, 4.5]
functions:
  - expr: x^2
    label: y = x², x < 1
    domain: [-2, 1]
  - expr: 3 - x
    label: y = 3 − x, x ≥ 1
    domain: [1, 4]
points:
  - [1, 1, '(1, 1)', open]
  - [1, 2, '(1, 2)']
```

Cada parte é desenhada apenas no seu próprio intervalo. Uma **bolinha aberta** marca uma extremidade que não está incluída; uma **bolinha fechada** marca uma que está.

## Limites de funções definidas por partes

Em um ponto de quebra $a$, calcule os dois [limites laterais](/blog/how-to-evaluate-limits) separadamente, cada um com a sua parte. Para a função acima em $a = 1$:

$$\lim_{x\to 1^-}f(x) = \lim_{x\to 1^-}x^2 = 1, \qquad \lim_{x\to 1^+}f(x) = \lim_{x\to 1^+}(3 - x) = 2$$

Os limites laterais são diferentes, então $\lim_{x\to 1}f(x)$ não existe, e o gráfico apresenta um salto. Longe do ponto de quebra, o limite é apenas [substituição direta](/rules/direct-substitution) na parte ativa.

## Continuidade em um ponto de quebra

$f$ é contínua em $a$ quando estes três valores coincidem:

1. o limite lateral à esquerda $\lim_{x\to a^-}f(x)$,
2. o limite lateral à direita $\lim_{x\to a^+}f(x)$,
3. o valor $f(a)$.

**Exemplo: escolhendo uma constante.** Para qual valor de $k$ a função

$$g(x) = \begin{cases} kx + 1 & x < 2 \\ x^2 & x \ge 2 \end{cases}$$

é contínua? O limite à esquerda em $2$ é $2k + 1$, e o limite à direita e o valor são $2^2 = 4$. Fazendo $2k + 1 = 4$, obtemos $k = \frac{3}{2}$.

## Derivadas de funções definidas por partes

Dentro de cada intervalo aberto, derive a parte ativa normalmente. Em um ponto de quebra, são necessárias duas verificações:

- $f$ precisa ser contínua ali (um salto significa que não há derivada).
- As derivadas à esquerda e à direita precisam coincidir: $\lim_{h\to 0^-}\frac{f(a+h) - f(a)}{h} = \lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

Quando as duas partes são polinômios deriváveis e $f$ é contínua em $a$, a segunda verificação se reduz a comparar $f_1'(a)$ com $f_2'(a)$.

**Exemplo: um bico.** A [função módulo](/functions/absolute-value-function) $|x|$ vale $-x$ para $x < 0$ e $x$ para $x \ge 0$. Ela é contínua em $0$, mas a inclinação à esquerda é $-1$ e a inclinação à direita é $1$, então $|x|$ não é derivável em $0$.

**Exemplo: contínua, mas não suave.** Para a função $g$ acima com $k = \frac{3}{2}$, a inclinação à esquerda em $2$ é $\frac{3}{2}$ e a inclinação à direita é $2x = 4$. Elas são diferentes, então $g$ é contínua, mas não é derivável em $x = 2$.

## Integrando uma função definida por partes

Divida a integral em cada ponto de quebra dentro do intervalo. Para a primeira função em $[0, 3]$:

$$\int_0^3 f(x)\,dx = \int_0^1 x^2\,dx + \int_1^3 (3 - x)\,dx = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3}$$

A segunda integral é $\left[3x - \frac{x^2}{2}\right]_1^3 = \frac{9}{2} - \frac{5}{2} = 2$. Um único salto não altera o valor da integral, então não importa a qual parte pertence o ponto $x = 1$.

## Erros comuns

1. **Usar a parte errada na fronteira.** Verifique se a condição diz $<$ ou $\le$ antes de calcular $f(a)$.
2. **Concluir continuidade olhando só um lado.** Os dois limites laterais e o valor precisam coincidir.
3. **Achar que contínua significa derivável.** Bicos como o de $|x|$ em $0$ são contínuos, mas não têm derivada.
4. **Derivar as partes e compará-las em um salto.** Se $f$ não é contínua em $a$, ela não é derivável ali, mesmo que as inclinações das partes coincidam.
5. **Integrar uma única fórmula no intervalo inteiro.** Sempre divida a integral nos pontos de quebra.

## Funções relacionadas

As [funções piso e teto](/functions/floor-and-ceiling-functions) são funções escada, constantes por partes, com um salto em cada número inteiro, e o [módulo](/functions/absolute-value-function) é a função definida por partes mais simples que tem um bico. Para um estudo completo de limites e continuidade, veja o guia de [continuidade](/blog/continuity).

## Perguntas frequentes

### Como calcular o limite de uma função definida por partes?

Longe de um ponto de quebra, use a fórmula daquela parte. Em um ponto de quebra, calcule o limite à esquerda com a parte da esquerda e o limite à direita com a parte da direita. O limite só existe se os dois coincidirem.

### Como tornar contínua uma função definida por partes?

Em cada ponto de quebra $a$, iguale as duas partes em $x = a$ e resolva para a constante desconhecida. Isso obriga os limites à esquerda e à direita a coincidirem com $f(a)$.

### Uma função definida por partes contínua é sempre derivável?

Não. As partes podem se encontrar com inclinações diferentes, formando um bico. A função módulo $|x|$ é contínua em $0$, mas não é derivável nesse ponto.

### Como esboçar o gráfico de uma função definida por partes?

Desenhe cada fórmula apenas no seu próprio intervalo. Em cada extremidade, use uma bolinha fechada se o ponto estiver incluído e uma bolinha aberta se não estiver.