# Funções Hiperbólicas senh, cosh, tanh: Gráficos, Derivadas, Integrais

> As funções hiperbólicas senh x, cosh x e tanh x: definições com exponenciais, gráficos, identidades, derivadas, integrais e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-hiperbolicas
Atualizado: 2026-11-03

$$ \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \quad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \quad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$

## Visão geral

- **Domínio de senh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem de senh x:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\cosh x$
- **Integral:** $\cosh x + C$
- **Identidade fundamental:** $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- **Imagem de cosh x e tanh x:** $[1, \infty)$ e $(-1, 1)$

## Pontos principais

- $\sinh x$ e $\cosh x$ são construídas a partir de $e^x$ e $e^{-x}$: são suas partes ímpar e par.
- Derivadas: $(\sinh x)' = \cosh x$, $(\cosh x)' = \sinh x$ e $(\tanh x)' = \operatorname{sech}^2 x$, sem sinais de menos.
- A identidade principal é $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, com um menos onde a trigonometria tem um mais.
- As funções hiperbólicas não são periódicas: crescem exponencialmente (senh, cosh) ou se estabilizam (tanh).

As **funções hiperbólicas** $\sinh x$, $\cosh x$ e $\tanh x$ são combinações de $e^x$ e $e^{-x}$ que se comportam de forma surpreendentemente parecida com as funções trigonométricas. Elas compartilham quase as mesmas identidades e regras de derivação, mas com algumas trocas de sinal, e descrevem formas reais, como a de um cabo pendurado.

## Definições

$$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}, \qquad \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}, \qquad \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$$

Somando as duas primeiras, obtemos $\cosh x + \sinh x = e^x$, ou seja, elas dividem a [função exponencial natural](/functions/natural-exponential-function) em uma parte par ($\cosh$) e uma parte ímpar ($\sinh$). As recíprocas são definidas exatamente como suas primas trigonométricas: $\operatorname{sech} x = \frac{1}{\cosh x}$, $\operatorname{csch} x = \frac{1}{\sinh x}$ e $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$.

## Gráficos de senh, cosh e tanh

```graph
title: 'Gráficos de y = senh x, y = cosh x e y = tanh x'
caption: '$\cosh x$ é uma curva em forma de U com mínimo $1$ em $x = 0$. $\sinh x$ passa pela origem e cresce sem limitação. $\tanh x$ fica espremida entre $-1$ e $1$.'
x: [-3, 3]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: sinh(x)
    label: y = senh x
  - expr: cosh(x)
    label: y = cosh x
  - expr: tanh(x)
    label: y = tanh x
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [0, 0, '(0, 0)']
```

| Função | Domínio | Imagem | Simetria | Valor em $0$ |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sinh x$ | todos os reais | todos os reais | ímpar | $0$ |
| $\cosh x$ | todos os reais | $[1, \infty)$ | par | $1$ |
| $\tanh x$ | todos os reais | $(-1, 1)$ | ímpar | $0$ |

$\tanh x$ tem as assíntotas horizontais $y = 1$ e $y = -1$, já que $\tanh x \to 1$ quando $x \to \infty$ e $\tanh x \to -1$ quando $x \to -\infty$.

## Identidades hiperbólicas

A identidade central sai diretamente das definições:

$$\cosh^2 x - \sinh^2 x = \frac{(e^x + e^{-x})^2 - (e^x - e^{-x})^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Compare com $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$. Outras identidades úteis:

- $1 - \tanh^2 x = \operatorname{sech}^2 x$
- $\sinh(2x) = 2\sinh x\cosh x$
- $\cosh(2x) = \cosh^2 x + \sinh^2 x$

## Derivadas das funções hiperbólicas

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
| $\tanh x$ | $\operatorname{sech}^2 x$ |

Cada uma decorre de $\frac{d}{dx}e^{-x} = -e^{-x}$. Por exemplo,

$$\frac{d}{dx}\sinh x = \frac{e^x - (-e^{-x})}{2} = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh x$$

Para $\tanh x$, a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) dá $\frac{\cosh^2 x - \sinh^2 x}{\cosh^2 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} = \operatorname{sech}^2 x$.

## Integrais das funções hiperbólicas

| Função | Integral |
| --- | --- |
| $\sinh x$ | $\cosh x + C$ |
| $\cosh x$ | $\sinh x + C$ |
| $\tanh x$ | $\ln(\cosh x) + C$ |
| $\operatorname{sech}^2 x$ | $\tanh x + C$ |

A integral de $\tanh$ usa $u = \cosh x$: $\int\frac{\sinh x}{\cosh x}\,dx = \ln|\cosh x| + C$, e o módulo pode ser retirado porque $\cosh x \ge 1$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\cosh(x^2) = 2x\sinh(x^2)$.

**Exemplo 2: calculando um valor.** Calcule $\cosh(\ln 2)$. Como $e^{\ln 2} = 2$ e $e^{-\ln 2} = \frac{1}{2}$,

$$\cosh(\ln 2) = \frac{2 + \frac{1}{2}}{2} = \frac{5}{4}$$

**Exemplo 3: uma integral definida.** $\int_0^{1}\cosh x\,dx = \sinh 1 - \sinh 0 = \frac{e - e^{-1}}{2} \approx 1.175$.

**Exemplo 4: substituição.** $\int\sinh(3x)\,dx = \frac{1}{3}\cosh(3x) + C$.

## Erros comuns

1. **Copiar o sinal de menos da trigonometria.** $\frac{d}{dx}\cosh x = \sinh x$, e não $-\sinh x$.
2. **Usar a identidade trigonométrica.** O correto é $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$, com sinal de menos.
3. **Esperar periodicidade.** As funções hiperbólicas nunca se repetem. $\sinh$ e $\cosh$ crescem como $\frac{e^x}{2}$ para $x$ grande.
4. **Confundir $\sinh x$ com $\sin x$.** São funções diferentes; $\sinh 0 = 0$, assim como $\sin 0$, mas $\sinh x$ é ilimitada.

## Onde as funções hiperbólicas aparecem

Um cabo pendurado assume a forma de uma catenária, $y = a\cosh\frac{x}{a}$, e seu comprimento de arco é fácil de calcular porque $1 + \sinh^2 x = \cosh^2 x$. A substituição $x = \sinh t$ é uma alternativa à [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution) em integrais com $\sqrt{1 + x^2}$. As funções hiperbólicas também têm [séries de Taylor](/blog/taylor-series) bem organizadas: $\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots$, a série do seno com todos os sinais positivos. Para rever as derivadas de exponenciais por trás de tudo isso, veja [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de senh x e de cosh x?

A derivada de $\sinh x$ é $\cosh x$ e a derivada de $\cosh x$ é $\sinh x$. Ao contrário do que acontece com $\cos x$, não há sinal de menos.

### Qual é a derivada de tanh x?

A derivada de $\tanh x$ é $\operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\cosh^2 x}$, que também é igual a $1 - \tanh^2 x$.

### Por que elas se chamam funções hiperbólicas?

O ponto $(\cosh t, \sinh t)$ sempre está sobre a hipérbole $x^2 - y^2 = 1$, assim como $(\cos t, \sin t)$ está sobre a circunferência $x^2 + y^2 = 1$.

### O que é uma catenária?

Uma catenária é a curva formada por uma corrente ou cabo pendurado sob o próprio peso. Sua equação é $y = a\cosh\frac{x}{a}$.

### Como se leem senh e cosh?

Em português, lê-se $\sinh$ como "seno hiperbólico" (muitas vezes escrito senh), $\cosh$ como "cosseno hiperbólico" e $\tanh$ como "tangente hiperbólica". Dizer o nome completo é sempre a opção mais clara.