# Funções Logarítmicas log_b(x): Gráficos, Propriedades, Derivada

> Funções logarítmicas log_b x: definição, gráficos, propriedades dos logaritmos, mudança de base, a derivada 1/(x ln b), a integral e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-logaritmicas
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \log_b x, \quad b > 0,\ b \ne 1 $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(0, \infty)$
- **Imagem:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{x\ln b}$
- **Integral:** $\frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$
- **Mudança de base:** $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
- **Inversa:** $b^x$

## Pontos principais

- O logaritmo $\log_b x$ é o expoente que se coloca em $b$ para obter $x$, então ele é a inversa de $b^x$.
- A mudança de base, $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$, transforma todo logaritmo em um múltiplo de $\ln x$.
- Sua derivada é $\frac{1}{x\ln b}$, que se reduz a $\frac{1}{x}$ quando $b = e$.
- Toda função logarítmica passa por $(1, 0)$ e tem uma assíntota vertical em $x = 0$.

Uma **função logarítmica** $\log_b x$ devolve o expoente que a base $b$ precisa ter para produzir $x$. Por exemplo, $\log_2 8 = 3$ porque $2^3 = 8$. Os logaritmos desfazem as [funções exponenciais](/functions/exponential-functions) e, no cálculo, todo logaritmo é um múltiplo constante do [logaritmo natural](/functions/natural-logarithm).

## Definição e fórmula

$$\log_b x = y \iff b^y = x, \qquad b > 0,\ b \ne 1,\ x > 0$$

Bases comuns: $\log_{10}x$ (o logaritmo decimal, muitas vezes escrito $\log x$), $\ln x = \log_e x$ e $\log_2 x$ na computação.

## Gráficos de funções logarítmicas

```graph
title: 'Gráficos de y = log na base 2 de x, y = ln(x) e y = log na base 10 de x'
caption: 'Todos os logaritmos com base maior que $1$ passam por $(1, 0)$ e crescem devagar. Quanto maior a base, mais achatada é a curva.'
x: [-0.5, 10]
y: [-3, 4]
functions:
  - expr: ln(x)/ln(2)
    label: y = log na base 2
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: log(x)
    label: y = log na base 10
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
```

## Propriedades principais

- **Domínio** $(0, \infty)$, **imagem** todos os reais.
- **Passa por** $(1, 0)$ e $(b, 1)$ para qualquer base.
- **Assíntota vertical** $x = 0$.
- **Crescente** se $b > 1$, **decrescente** se $0 < b < 1$.
- **Inversa de $b^x$:** $b^{\log_b x} = x$ para $x > 0$ e $\log_b(b^x) = x$ para todo $x$. O gráfico é o de $b^x$ refletido em relação à reta $y = x$.
- **Crescimento lento:** para $b > 1$, $\log_b x \to \infty$, mas mais devagar que qualquer potência positiva de $x$.

## Propriedades dos logaritmos

Para $x, y > 0$:

| Propriedade | Fórmula |
| --- | --- |
| Produto | $\log_b(xy) = \log_b x + \log_b y$ |
| Quociente | $\log_b\frac{x}{y} = \log_b x - \log_b y$ |
| Potência | $\log_b(x^k) = k\log_b x$ |
| Mudança de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |
| Valores especiais | $\log_b 1 = 0$, $\log_b b = 1$ |

## Derivada de log_b x

A mudança de base transforma esta função em um múltiplo constante de $\ln x$:

$$\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{\ln b}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x\ln b}$$

Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule), $\frac{d}{dx}\log_b g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)\ln b}$. Quando $b = e$, temos $\ln e = 1$ e recuperamos $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.

## Integral de log_b x

$$\int \log_b x\,dx = \frac{1}{\ln b}\int \ln x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$$

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: calcular.** $\log_3 81 = 4$ porque $3^4 = 81$, e $\log_2\frac{1}{8} = -3$ porque $2^{-3} = \frac{1}{8}$.

**Exemplo 2: derivada.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$. Em $x = 10$, a inclinação é $\frac{1}{10\ln 10} \approx 0.0434$.

**Exemplo 3: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\log_2(x^2 + 1) = \frac{2x}{(x^2 + 1)\ln 2}$.

**Exemplo 4: use primeiro as propriedades dos logaritmos.** $\frac{d}{dx}\log_5\left(x^3\sqrt{x}\right) = \frac{d}{dx}\tfrac{7}{2}\log_5 x = \frac{7}{2x\ln 5}$.

**Exemplo 5: resolvendo uma equação exponencial.** Para resolver $2^x = 10$, aplique $\log_2$ aos dois lados: $x = \log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 3.32$.

## Erros comuns

1. **Esquecer o $\ln b$ na derivada.** $\frac{d}{dx}\log_{10}x \ne \frac{1}{x}$.
2. **Separar o logaritmo de uma soma.** $\log_b(x + y) \ne \log_b x + \log_b y$.
3. **Escrever $\frac{\log_b x}{\log_b y} = \log_b(x - y)$.** A propriedade do quociente vale para o logaritmo de um quociente, e não para um quociente de logaritmos.
4. **Inverter a mudança de base.** O correto é $\frac{\ln x}{\ln b}$, e não $\frac{\ln b}{\ln x}$.

## Como se conecta

Os logaritmos transformam equações exponenciais em equações lineares e produtos em somas, a ideia por trás da [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation). Eles também aparecem na integral de $\frac{1}{x}$ e em muitas [integrais impróprias](/blog/improper-integrals). Para ver as regras de derivação lado a lado com as das exponenciais, leia o guia de [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada do logaritmo de x na base b?

A derivada é $\frac{d}{dx}\log_b x = \frac{1}{x\ln b}$. Por exemplo, $\frac{d}{dx}\log_{10}x = \frac{1}{x\ln 10}$.

### Qual é a integral do logaritmo de x na base b?

Escreva $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ e use $\int \ln x\,dx = x\ln x - x$. O resultado é $\int \log_b x\,dx = \frac{x\ln x - x}{\ln b} + C$.

### O que é a fórmula de mudança de base?

Para quaisquer bases válidas, $\log_b x = \frac{\log_a x}{\log_a b}$. No cálculo, a escolha natural é $a = e$, o que dá $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$.

### Por que o logaritmo de um número negativo não está definido?

Uma base positiva elevada a qualquer potência real é positiva, então nenhum expoente produz um número negativo ou zero. É por isso que $\log_b x$ só está definido para $x > 0$.