# Funções Piso e Teto: Gráficos, Limites, Derivada e Integral

> A função piso ⌊x⌋ e a função teto ⌈x⌉: definições, gráficos em escada, limites laterais, continuidade, derivada e como integrá-las.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-piso-e-teto
Atualizado: 2026-11-03

$$ \lfloor x \rfloor = \max\{n \in \mathbb{Z} : n \le x\}, \quad \lceil x \rceil = \min\{n \in \mathbb{Z} : n \ge x\} $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Imagem:** Os inteiros $\mathbb{Z}$
- **Derivada:** $\frac{d}{dx}\lfloor x \rfloor = 0 \ \ (x \notin \mathbb{Z})$
- **Integral:** $\int_0^x \lfloor t \rfloor\,dt = \lfloor x \rfloor x - \frac{\lfloor x \rfloor(\lfloor x \rfloor + 1)}{2}$
- **Descontinuidades:** Um salto de tamanho $1$ em cada inteiro
- **Relação:** $\lceil x \rceil = -\lfloor -x \rfloor$

## Pontos principais

- $\lfloor x \rfloor$ arredonda para baixo, até o inteiro mais próximo, e $\lceil x \rceil$ arredonda para cima.
- As duas são funções escada: constantes entre inteiros, com um salto de $1$ em cada inteiro.
- Em um inteiro $n$, $\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1$ e $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$, então o limite bilateral não existe.
- A derivada é $0$ fora dos inteiros e não existe neles; as integrais são somas de áreas de retângulos.

A **função piso** $\lfloor x\rfloor$ arredonda um número para baixo, até o inteiro mais próximo, e a **função teto** $\lceil x\rceil$ o arredonda para cima. Seus gráficos parecem escadas, o que as torna os exemplos clássicos de [funções definidas por partes](/functions/piecewise-functions) com descontinuidades de salto. A função piso também é chamada de função maior inteiro e às vezes é escrita como $[x]$ ou $\operatorname{int}(x)$.

## Definições

$$\lfloor x\rfloor = \text{the largest integer } n \text{ with } n \le x, \qquad \lceil x\rceil = \text{the smallest integer } n \text{ with } n \ge x$$

| $x$ | $2.7$ | $2$ | $0.4$ | $-0.4$ | $-2.7$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\lfloor x\rfloor$ | $2$ | $2$ | $0$ | $-1$ | $-3$ |
| $\lceil x\rceil$ | $3$ | $2$ | $1$ | $0$ | $-2$ |

Atenção aos números negativos: arredondar $-2.7$ **para baixo** leva a $-3$, e não a $-2$.

## Gráfico da função piso

```graph
title: 'Gráfico da função piso y = ⌊x⌋ de x = −1 a x = 3'
caption: 'Cada degrau inclui sua extremidade esquerda (ponto fechado) e exclui sua extremidade direita (ponto aberto), porque $\lfloor n\rfloor = n$ em todo inteiro $n$.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-1.8, 2.8]
functions:
  - expr: '-1'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '0'
    domain: [0, 1]
  - expr: '1'
    domain: [1, 2]
  - expr: '2'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, -1, '', closed]
  - [0, -1, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [1, 0, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [2, 1, '', open]
  - [2, 2, '(2, 2)', closed]
  - [3, 2, '', open]
```

## Gráfico da função teto

```graph
title: 'Gráfico da função teto y = ⌈x⌉ de x = −1 a x = 3'
caption: 'Os degraus do teto são fechados à direita e abertos à esquerda, a imagem espelhada da função piso.'
x: [-1.5, 3.5]
y: [-0.8, 3.8]
functions:
  - expr: '0'
    domain: [-1, 0]
  - expr: '1'
    domain: [0, 1]
  - expr: '2'
    domain: [1, 2]
  - expr: '3'
    domain: [2, 3]
points:
  - [-1, 0, '', open]
  - [0, 0, '', closed]
  - [0, 1, '', open]
  - [1, 1, '', closed]
  - [1, 2, '', open]
  - [2, 2, '', closed]
  - [2, 3, '', open]
  - [3, 3, '(3, 3)', closed]
```

## Propriedades principais

- **Imagem.** As duas funções produzem apenas inteiros.
- **Limitantes.** $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x \le \lceil x\rceil < x + 1$.
- **Os inteiros ficam fixos.** $\lfloor n\rfloor = \lceil n\rceil = n$ para qualquer inteiro $n$.
- **Deslocamento por um inteiro.** $\lfloor x + n\rfloor = \lfloor x\rfloor + n$ para qualquer inteiro $n$.
- **Piso e teto estão ligados.** $\lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor$ e, para um $x$ não inteiro, $\lceil x\rceil = \lfloor x\rfloor + 1$.

## Limites e continuidade

Entre inteiros a função piso é constante, então é contínua ali. Em um inteiro $n$ os [limites laterais](/blog/how-to-evaluate-limits) são diferentes:

$$\lim_{x\to n^-}\lfloor x\rfloor = n - 1, \qquad \lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n$$

Logo $\lim_{x\to n}\lfloor x\rfloor$ não existe, e há um salto de tamanho $1$. Como o limite à direita é igual a $\lfloor n\rfloor$, a função piso é **contínua à direita**. Na função teto acontece o contrário: $\lim_{x\to n^-}\lceil x\rceil = n$ e $\lim_{x\to n^+}\lceil x\rceil = n + 1$, então ela é **contínua à esquerda**. Para as definições formais, veja o guia de [continuidade](/blog/continuity).

**Exemplo: um limite no infinito.** Calcule $\lim_{x\to\infty}\frac{\lfloor x\rfloor}{x}$. Para $x > 0$, dividindo $x - 1 < \lfloor x\rfloor \le x$ por $x$, obtemos $1 - \frac{1}{x} < \frac{\lfloor x\rfloor}{x} \le 1$. Os dois limitantes tendem a $1$, então, pelo [Teorema do Confronto](/theorems/squeeze-theorem), o limite é $1$.

## Derivada da função piso

$$\frac{d}{dx}\lfloor x\rfloor = 0 \quad \text{for } x \notin \mathbb{Z}$$

Em cada intervalo aberto $(n, n+1)$ a função é a constante $n$, cuja derivada é $0$. Em um inteiro a função não é contínua, então não é diferenciável. O mesmo vale para a função teto.

## Integral da função piso

Cada intervalo unitário $[k, k+1]$ contribui com um retângulo de altura $k$ e largura $1$, então basta somar áreas de retângulos, como em uma [soma de Riemann](/blog/riemann-sums) que, neste caso, é exata. Para $x \ge 0$:

$$\int_0^x\lfloor t\rfloor\,dt = (0 + 1 + \cdots + (n - 1)) + n(x - n) = nx - \frac{n(n+1)}{2}, \qquad n = \lfloor x\rfloor$$

A mesma fórmula também vale para $x$ negativo.

**Exemplo.** $\int_0^{3.5}\lfloor t\rfloor\,dt = 0 + 1 + 2 + 3(0.5) = 4.5$. A fórmula confirma: $3(3.5) - \frac{3\cdot 4}{2} = 10.5 - 6 = 4.5$.

**Exemplo com teto.** $\int_0^3\lceil t\rceil\,dt = 1 + 2 + 3 = 6$, já que $\lceil t\rceil$ vale $1$ em $(0, 1]$, $2$ em $(1, 2]$ e $3$ em $(2, 3]$. Pontos isolados não alteram uma integral.

## Erros comuns

1. **Arredondar negativos em direção ao zero.** $\lfloor -1.2\rfloor = -2$, e não $-1$.
2. **Afirmar que o limite em um inteiro existe.** Os limites à esquerda e à direita diferem por $1$.
3. **Colocar o ponto fechado na extremidade errada.** Os degraus do piso são fechados à esquerda; os do teto são fechados à direita.
4. **Derivar em um salto.** A derivada é $0$ apenas entre inteiros. Nos inteiros ela não existe.

## Onde elas aparecem

Funções escada modelam tudo o que é cobrado em unidades inteiras: frete por quilo, estacionamento por hora ou faixas de imposto. No cálculo, são os exemplos preferidos para limites laterais e para funções integráveis mas não contínuas. Veja a estratégia geral em [funções definidas por partes](/functions/piecewise-functions) e compare com o bico da [função módulo](/functions/absolute-value-function).

## Perguntas frequentes

### O que é a função piso?

A função piso $\lfloor x\rfloor$, também chamada de função maior inteiro, dá o maior inteiro menor ou igual a $x$. Por exemplo, $\lfloor 2.7\rfloor = 2$ e $\lfloor -2.7\rfloor = -3$.

### Qual é a diferença entre piso e teto?

O piso arredonda para baixo e o teto arredonda para cima. As duas coincidem nos inteiros e, para um $x$ não inteiro, o teto é exatamente uma unidade maior que o piso.

### A função piso é contínua?

Ela é contínua em todo número não inteiro e tem uma descontinuidade de salto em cada inteiro. É contínua à direita em todos os pontos: $\lim_{x\to n^+}\lfloor x\rfloor = n = \lfloor n\rfloor$.

### Qual é a derivada da função piso?

Entre inteiros, a função piso é constante, então sua derivada é $0$. Em cada inteiro ela dá um salto, então não é diferenciável ali.

### Como integrar a função piso?

Divida o intervalo nos inteiros. Em cada pedaço a função é constante, então cada pedaço contribui com um retângulo, por exemplo $\int_0^3\lfloor x\rfloor\,dx = 0 + 1 + 2 = 3$.