# Funções polinomiais: grau, gráficos, derivadas e integrais

> Funções polinomiais explicadas: grau, termo dominante, comportamento nas extremidades, raízes e pontos de virada, e como derivar e integrar.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-polinomiais
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0 $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1$
- **Integral:** $\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$
- **Continuidade:** Contínua e diferenciável em todos os pontos
- **Raízes reais:** No máximo $n$
- **Pontos de virada:** No máximo $n - 1$

## Pontos principais

- Um polinômio é uma soma de termos $a_kx^k$ com expoentes naturais; seu grau é o maior expoente com coeficiente diferente de zero.
- Derive e integre um polinômio termo a termo com a regra da potência.
- Cada derivada diminui o grau em uma unidade, e cada integral o aumenta em uma unidade.
- Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais e no máximo $n - 1$ pontos de virada.

Uma **função polinomial** é uma soma finita de funções potência com expoentes naturais, cada uma multiplicada por uma constante. Retas, parábolas e cúbicas são todas polinômios. Elas são as funções mais amigáveis do cálculo: contínuas em todos os pontos, suaves em todos os pontos e derivadas ou integradas termo a termo.

## Definição e fórmula

$$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0, \qquad a_n \ne 0$$

- O **grau** é $n$, a maior potência com coeficiente diferente de zero.
- O **termo dominante** é $a_nx^n$ e o **coeficiente dominante** é $a_n$.
- O **termo independente** $a_0$ é o ponto onde o gráfico corta o eixo $y$.

Os expoentes precisam ser números naturais $0, 1, 2, \ldots$. Assim, $x^3 - 2x$ é um polinômio, mas $\sqrt{x}$, $\frac{1}{x}$ e $2^x$ não são.

| Grau | Nome | Exemplo |
| --- | --- | --- |
| 0 | [constante](/functions/constant-function) | $5$ |
| 1 | [afim (linear)](/functions/linear-function) | $2x - 1$ |
| 2 | [quadrática](/functions/quadratic-function) | $x^2 + 3x$ |
| 3 | cúbica | $x^3 - 3x$ |
| 4 | quártica | $x^4 - x^2$ |

## Gráfico de um polinômio

```graph
title: 'Gráfico do polinômio cúbico y = x³ - 3x e de sua derivada'
caption: 'A cúbica tem pontos de virada em $x = -1$ e $x = 1$, onde sua derivada $3x^2 - 3$ se anula.'
x: [-2.5, 2.5]
y: [-4, 5]
functions:
  - expr: x^3 - 3x
    label: y = x³ - 3x
  - expr: 3x^2 - 3
    label: y = 3x² - 3 (derivada)
    dashed: true
points:
  - [-1, 2, 'máx (-1, 2)']
  - [1, -2, 'mín (1, -2)']
```

## Propriedades principais

- **Contínua e diferenciável em todos os pontos.** Sem buracos, saltos, bicos ou assíntotas, então todo limite é calculado por [substituição direta](/rules/direct-substitution).
- O **comportamento nas extremidades** vem só do termo dominante. Grau par com $a_n > 0$: as duas extremidades sobem. Grau ímpar com $a_n > 0$: desce à esquerda e sobe à direita. Um $a_n$ negativo inverte o desenho.
- **Raízes.** Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes reais. Um polinômio de grau ímpar sempre tem pelo menos uma, pelo [Teorema do Valor Intermediário](/theorems/intermediate-value-theorem).
- **Pontos de virada.** No máximo $n - 1$, porque $f'$ tem grau $n - 1$.

## Derivada de um polinômio

Combine a [regra da potência](/rules/power-rule), a [regra da constante multiplicativa](/rules/constant-multiple-rule) e a [regra da soma](/rules/sum-and-difference-rule):

$$f'(x) = na_nx^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + 2a_2x + a_1$$

O termo independente desaparece e o grau diminui em uma unidade. Derivar $n + 1$ vezes dá $0$.

## Integral de um polinômio

$$\int f(x)\,dx = \frac{a_n}{n+1}x^{n+1} + \cdots + \frac{a_1}{2}x^2 + a_0x + C$$

O grau aumenta em uma unidade. Integrais definidas de polinômios são sempre fáceis de calcular com o [Teorema Fundamental do Cálculo](/blog/fundamental-theorem-of-calculus).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: derivada.** $\frac{d}{dx}\left(4x^5 - 2x^3 + 7x - 1\right) = 20x^4 - 6x^2 + 7$.

**Exemplo 2: pontos de virada.** Para $f(x) = x^3 - 3x$, temos $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, que se anula em $x = \pm 1$. Então $f(-1) = 2$ é um máximo local e $f(1) = -2$ é um mínimo local.

**Exemplo 3: integral.** $\int (6x^2 - 4x + 3)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 3x + C$.

**Exemplo 4: integral definida.** $\int_0^2 (x^3 - x)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\right]_0^2 = (4 - 2) - 0 = 2$.

## Erros comuns

1. **Derivar um produto sem expandir nem usar a regra do produto.** $\frac{d}{dx}\left[(x^2 + 1)(x - 3)\right]$ não é $2x \cdot 1$. Expanda primeiro ou use a [regra do produto](/rules/product-rule).
2. **Manter o termo independente na derivada.** $\frac{d}{dx}(x^2 + 5) = 2x$, e não $2x + 5$.
3. **Esquecer o $+\,C$** nas integrais indefinidas.
4. **Julgar o comportamento nas extremidades pelo primeiro termo escrito.** Use o termo de maior grau, onde quer que ele apareça.

## Como se conecta

Dividindo dois polinômios, obtemos as [funções racionais](/functions/rational-functions). Os polinômios de Taylor aproximam outras funções por polinômios, e as [séries de Taylor](/blog/taylor-series) levam essa ideia a infinitos termos. Para as regras por trás de cada passo, veja [funções potência](/functions/power-functions).

## Perguntas frequentes

### Como calcular a derivada de um polinômio?

Aplique a regra da potência a cada termo e some os resultados. Por exemplo, $\frac{d}{dx}(2x^3 - 5x^2 + x - 4) = 6x^2 - 10x + 1$.

### Como integrar um polinômio?

Use a regra da potência inversa em cada termo: some um ao expoente, divida pelo novo expoente e acrescente $C$. Por exemplo, $\int (3x^2 + 4x)\,dx = x^3 + 2x^2 + C$.

### O que determina o comportamento de um polinômio nas extremidades?

Só o termo dominante $a_nx^n$ importa quando $x \to \pm\infty$. Grau par significa que as duas extremidades vão para o mesmo lado; grau ímpar significa que vão para lados opostos, e o sinal de $a_n$ decide qual.

### Polinômios são sempre contínuos?

Sim. Todo polinômio é contínuo e diferenciável em todo número real, então limites de polinômios sempre podem ser calculados por substituição direta.

### Quantos pontos de virada um polinômio pode ter?

Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n - 1$ pontos de virada, porque sua derivada tem grau $n - 1$ e, portanto, no máximo $n - 1$ zeros.