# Funções potência f(x) = xⁿ: gráficos, derivada, integral e regras > Funções potência f(x) = xⁿ com n natural, negativo ou fracionário: gráficos, domínios, a derivada nxⁿ⁻¹, a integral e a exceção n = -1. Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-potencia Atualizado: 2026-11-03 $$ f(x) = x^n $$ ## Visão geral - **Domínio:** Todos os reais para $n \ge 0$ natural; $x \ne 0$ para $n$ negativo - **Derivada:** $nx^{n-1}$ - **Integral:** $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ - **Exceção:** $\int x^{-1}\,dx = \ln|x| + C$ - **Par ou ímpar:** Par para $n$ natural par, ímpar para $n$ natural ímpar - **Passa por:** $(1, 1)$ para todo $n$ ## Pontos principais - Uma função potência é $f(x) = x^n$ com expoente constante $n$, que pode ser natural, negativo ou fracionário. - A derivada é $nx^{n-1}$ para toda constante real $n$. - A integral é $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, exceto quando $n = -1$, caso em que é $\ln|x| + C$. - Reescreva raízes e frações como potências antes de derivar ou integrar. Uma **função potência** eleva a variável a um expoente fixo: $f(x) = x^n$. A família inclui parábolas, cúbicas, recíprocas e raízes, e uma única regra, a [regra da potência](/rules/power-rule), deriva todos os seus membros. ## Fórmula $$f(x) = x^n$$ O expoente $n$ é uma constante. De modo mais geral, $f(x) = kx^n$ com um coeficiente constante $k$. Membros comuns: | $n$ | Função | Nome | | --- | --- | --- | | $0$ | $1$ | [constante](/functions/constant-function) | | $1$ | $x$ | função identidade | | $2$ | $x^2$ | parábola | | $3$ | $x^3$ | cúbica | | $-1$ | $\frac{1}{x}$ | [recíproca](/functions/reciprocal-function) | | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{x}$ | [raiz quadrada](/functions/square-root-function) | ## Gráficos de funções potência ```graph title: 'Gráficos das funções potência y = x², y = x³ e y = √x' caption: 'Toda função potência passa por $(1, 1)$. Potências pares são simétricas em relação ao eixo $y$, e potências ímpares são simétricas em relação à origem.' x: [-2.5, 2.5] y: [-3, 4] functions: - expr: x^2 label: y = x² - expr: x^3 label: y = x³ - expr: sqrt(x) label: y = √x points: - [1, 1, '(1, 1)'] ``` Como o expoente molda o gráfico: - **$n$ natural par** ($x^2, x^4, \ldots$): formato de U, função par, imagem $[0, \infty)$. - **$n$ natural ímpar** ($x^3, x^5, \ldots$): formato de S, função ímpar, imagem igual a todos os reais. - **$n$ negativo** ($x^{-1}, x^{-2}, \ldots$): não definida em $0$, com assíntota vertical em $x = 0$ e assíntota horizontal $y = 0$. - **$n = \frac{p}{q}$ fracionário**: uma raiz de índice par ($q$ par) restringe o domínio a $x \ge 0$; uma raiz de índice ímpar permite todos os reais. - Em $(0, 1)$, potências maiores são menores; em $(1, \infty)$, potências maiores são maiores. ## Derivada de uma função potência $$\frac{d}{dx}\,x^n = nx^{n-1}$$ Desça o expoente multiplicando e depois subtraia um do expoente. Isso vale para toda constante real $n$ onde $x^n$ for diferenciável. Observe que, para $0 < n < 1$, como em $\sqrt{x}$, a derivada tende ao infinito em $x = 0$, onde o gráfico tem reta tangente vertical. ## Integral de uma função potência $$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \qquad n \ne -1$$ Some um ao expoente e depois divida pelo novo expoente. O caso $n = -1$ dividiria por zero; nesse caso $$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$ Veja a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule). ## Exemplos resolvidos **Exemplo 1.** $\frac{d}{dx}x^7 = 7x^6$. **Exemplo 2: expoente negativo.** $\frac{d}{dx}\frac{4}{x^3} = \frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$. **Exemplo 3: expoente fracionário.** $\frac{d}{dx}\sqrt[3]{x} = \frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$. **Exemplo 4: integral.** $\int x^{3/2}\,dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C = \frac{2}{5}x^{5/2} + C$. **Exemplo 5: integral definida.** $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \left[2x^{1/2}\right]_1^4 = 4 - 2 = 2$. ## Erros comuns 1. **Usar a regra da potência em $2^x$.** Essa é uma [função exponencial](/functions/exponential-functions); sua derivada é $2^x\ln 2$. 2. **Subtrair um de um expoente negativo na direção errada.** A derivada de $x^{-3}$ é $-3x^{-4}$, e não $-3x^{-2}$. 3. **Aplicar a fórmula da integral com $n = -1$.** $\frac{x^0}{0}$ não tem sentido; use $\ln|x|$. 4. **Não reescrever antes.** Transforme $\frac{1}{x^2}$ em $x^{-2}$ e $\sqrt{x}$ em $x^{1/2}$ antes de usar qualquer uma das regras. ## Como se conecta Somas de funções potência com expoentes naturais são [funções polinomiais](/functions/polynomial-functions), e as séries de potências estendem essa ideia a infinitos termos. Para um passo a passo mais detalhado com exercícios, leia o guia da [regra da potência](/blog/power-rule) e o de [antiderivadas](/blog/antiderivatives). ## Perguntas frequentes ### O que é uma função potência? Uma função potência tem a forma $f(x) = x^n$ (ou $kx^n$), em que o expoente $n$ é uma constante. Exemplos: $x^3$, $x^{-1} = \frac{1}{x}$ e $x^{1/2} = \sqrt{x}$. ### Qual é a derivada de x^n? Pela regra da potência, $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$. Isso vale para qualquer constante real $n$, incluindo expoentes negativos e fracionários. ### Qual é a integral de x^n? Para $n \ne -1$, $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Quando $n = -1$, a fórmula dividiria por zero, e a integral passa a ser $\ln|x| + C$. ### Qual é a diferença entre função potência e função exponencial? Em uma função potência como $x^2$, a variável está na base e o expoente é fixo. Em uma função exponencial como $2^x$, a base é fixa e a variável está no expoente, e as regras de derivação são completamente diferentes.