# Funções racionais: assíntotas, buracos, derivadas e integrais

> Funções racionais P(x)/Q(x): domínio, assíntotas verticais e horizontais, buracos, derivadas pela regra do quociente e integrais por frações parciais.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/funcoes-racionais
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \quad Q(x) \ne 0 $$

## Visão geral

- **Domínio:** Todo $x$ com $Q(x) \ne 0$
- **Derivada:** $\frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$
- **Integral:** $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$
- **Assíntotas verticais:** Zeros de $Q$ que não se cancelam
- **Assíntota horizontal:** Compare os graus de $P$ e $Q$
- **Método de integração:** Divisão de polinômios e depois frações parciais

## Pontos principais

- Uma função racional é um quociente de dois polinômios, definida onde o denominador não se anula.
- Um zero do denominador gera uma assíntota vertical, ou um buraco se o fator se cancelar com o numerador.
- Derive com a regra do quociente; integre com divisão de polinômios e frações parciais.
- Os graus do numerador e do denominador determinam a assíntota horizontal ou oblíqua.

Uma **função racional** é um polinômio dividido por outro. Ela está definida em todos os pontos, exceto onde o denominador se anula, e o comportamento perto desses pontos, com assíntotas e buracos, é o que a torna central em limites, esboço de gráficos e integração.

## Definição e fórmula

$$f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}, \qquad Q(x) \ne 0$$

$P$ e $Q$ são [polinômios](/functions/polynomial-functions) e $Q$ não é o polinômio nulo. O exemplo mais simples é a [função recíproca](/functions/reciprocal-function) $\frac{1}{x}$. Outros exemplos são $\frac{2x + 1}{x - 1}$ e $\frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

## Gráfico de uma função racional

```graph
title: 'Gráfico da função racional y = (2x + 1)/(x - 1) com suas assíntotas'
caption: 'A assíntota vertical é $x = 1$ e a assíntota horizontal é $y = 2$, o quociente dos coeficientes dominantes.'
x: [-6, 8]
y: [-8, 12]
functions:
  - expr: (2x + 1)/(x - 1)
    label: y = (2x + 1)/(x - 1)
  - expr: '2'
    label: y = 2 (assíntota horizontal)
    dashed: true
vertical:
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

## Assíntotas e buracos

Primeiro, fatore $P$ e $Q$ completamente.

- **Buraco.** Um fator $(x - a)$ que se cancela no numerador e no denominador deixa uma descontinuidade removível em $x = a$. Exemplo: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = x + 2$ para $x \ne 2$, uma reta com um buraco em $(2, 4)$.
- **Assíntota vertical.** Um zero $a$ do denominador que permanece depois do cancelamento. Perto de $x = a$, a função vai para $\pm\infty$, então os [limites laterais](/blog/what-is-a-limit) são infinitos.
- **Assíntota horizontal.** Vem dos [limites no infinito](/blog/limits-at-infinity), com $\deg P = m$ e $\deg Q = n$:

| Graus | Comportamento quando $x \to \pm\infty$ |
| --- | --- |
| $m < n$ | assíntota $y = 0$ |
| $m = n$ | assíntota $y = \frac{\text{leading coeff of } P}{\text{leading coeff of } Q}$, o quociente dos coeficientes dominantes |
| $m = n + 1$ | assíntota oblíqua, obtida pela divisão de polinômios |
| $m > n + 1$ | nenhuma assíntota reta |

## Derivada de uma função racional

Use a [regra do quociente](/rules/quotient-rule):

$$\frac{d}{dx}\,\frac{P(x)}{Q(x)} = \frac{P'(x)Q(x) - P(x)Q'(x)}{Q(x)^2}$$

A derivada é novamente uma função racional, com os mesmos pontos excluídos do domínio.

## Integrando funções racionais

Não existe uma fórmula única. O método padrão é:

1. Se $\deg P \ge \deg Q$, divida para obter um polinômio mais uma fração própria.
2. Fatore $Q$ e separe a fração própria em [frações parciais](/blog/partial-fractions).
3. Integre cada parcela. Fatores lineares geram logaritmos, $\int \frac{A}{x - r}\,dx = A\ln|x - r| + C$; fatores quadráticos irredutíveis geram arcos tangentes.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: assíntotas.** Para $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 1}$, nada se cancela, então $x = 1$ é uma assíntota vertical. Os graus são iguais, então $y = \frac{2}{1} = 2$ é a assíntota horizontal.

**Exemplo 2: derivada.** Com $P = 2x + 1$ e $Q = x - 1$:

$$f'(x) = \frac{2(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2}$$

A derivada é sempre negativa, então $f$ é decrescente em cada lado da assíntota.

**Exemplo 3: um limite com buraco.** $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4$.

**Exemplo 4: integral por frações parciais.** Como $\frac{1}{x^2 - 1} = \frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}$,

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{x - 1}{x + 1}\right| + C$$

## Erros comuns

1. **Declarar que todo zero do denominador é uma assíntota.** Cancele os fatores comuns primeiro; fatores cancelados geram buracos.
2. **Cancelar termos em vez de fatores.** $\frac{x + 4}{x + 2} \ne \frac{4}{2}$. Só fatores comuns se cancelam.
3. **Trocar a ordem na regra do quociente.** O numerador é $P'Q - PQ'$; invertê-lo troca o sinal.
4. **Usar frações parciais em uma fração imprópria.** Divida primeiro quando $\deg P \ge \deg Q$.

## Como se conecta

Funções racionais são a fonte clássica de limites do tipo $\frac{0}{0}$, o caso de teste da [regra de L'Hôpital](/blog/lhopitals-rule) e a principal aplicação de frações parciais em Cálculo 2. Seus gráficos usam todas as ferramentas de [esboço de gráficos](/blog/curve-sketching-with-derivatives).

## Perguntas frequentes

### Como encontrar as assíntotas verticais de uma função racional?

Fatore e cancele os fatores comuns; depois iguale o denominador restante a zero. Cada zero que sobrar gera uma assíntota vertical; um fator que se cancelou gera um buraco.

### Como encontrar a assíntota horizontal de uma função racional?

Compare os graus. Se o denominador tiver grau maior, a assíntota é $y = 0$. Se os graus forem iguais, é o quociente dos coeficientes dominantes. Se o numerador tiver grau maior, não há assíntota horizontal.

### Como derivar uma função racional?

Use a regra do quociente: $\left(\frac{P}{Q}\right)' = \frac{P'Q - PQ'}{Q^2}$. Quando o denominador é simples, pode ser mais rápido reescrever com expoente negativo e usar a regra da cadeia.

### Como integrar uma função racional?

Se o grau do numerador for maior ou igual ao do denominador, faça primeiro a divisão de polinômios. Depois separe a fração própria em frações parciais, que se integram em logaritmos, potências e arcos tangentes.