# Logaritmo natural ln(x): gráfico, propriedades, derivada e integral

> O logaritmo natural ln x: gráfico, propriedades dos logaritmos, por que a derivada é 1/x, a integral x ln x - x + C e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/logaritmo-natural
Atualizado: 2026-11-03

$$ f(x) = \ln x $$

## Visão geral

- **Domínio:** $(0, \infty)$
- **Imagem:** $(-\infty, \infty)$
- **Derivada:** $\frac{1}{x}$
- **Integral:** $x\ln x - x + C$
- **Valores importantes:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$
- **Inversa:** $e^x$
- **Assíntota:** $x = 0$

## Pontos principais

- O logaritmo natural $\ln x$ é a inversa de $e^x$: $\ln x = y$ significa $e^y = x$.
- Sua derivada é $\frac{1}{x}$ e, com a regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$.
- Sua integral, obtida por integração por partes, é $x\ln x - x + C$.
- As propriedades dos logaritmos transformam produtos em somas e potências em múltiplos, o que simplifica derivadas difíceis.

O **logaritmo natural** $\ln x$ responde à pergunta "a qual potência devo elevar $e$ para obter $x$?". Ele é a inversa da [função exponencial natural](/functions/natural-exponential-function), e sua derivada é a surpreendentemente simples $\frac{1}{x}$, o que faz dele o logaritmo preferido no cálculo.

## Definição e fórmula

$$\ln x = y \iff e^y = x, \qquad x > 0$$

De forma equivalente, $\ln x$ é a área sob o gráfico da [função recíproca](/functions/reciprocal-function) de $1$ até $x$:

$$\ln x = \int_1^x \frac{1}{t}\,dt$$

## Gráfico de ln x

```graph
title: 'Gráfico de y = ln(x) e de sua inversa y = eˣ'
caption: 'O logaritmo natural é o reflexo de $e^x$ em relação à reta $y = x$. Ele corta o eixo $x$ em $(1, 0)$ e tem uma assíntota vertical em $x = 0$.'
x: [-3, 6]
y: [-3, 6]
functions:
  - expr: ln(x)
    label: y = ln x
  - expr: e^x
    label: y = eˣ
  - expr: x
    label: y = x
    dashed: true
points:
  - [1, 0, '(1, 0)']
  - [2.718, 1, '(e, 1)']
```

## Propriedades principais

- **Domínio** $(0, \infty)$, **imagem** todos os números reais.
- **Valores importantes:** $\ln 1 = 0$, $\ln e = 1$, $\ln e^k = k$.
- **Crescente** em todo o domínio ($\frac{1}{x} > 0$) e com **concavidade para baixo** ($-\frac{1}{x^2} < 0$).
- **Assíntota vertical** $x = 0$: $\lim_{x \to 0^+}\ln x = -\infty$. Além disso, $\lim_{x \to \infty}\ln x = \infty$, mas muito lentamente; $\ln x$ cresce mais devagar que qualquer potência positiva de $x$.
- **Identidades da inversa:** $e^{\ln x} = x$ para $x > 0$ e $\ln e^x = x$ para todo $x$.

## Propriedades dos logaritmos

| Propriedade | Fórmula |
| --- | --- |
| Produto | $\ln(ab) = \ln a + \ln b$ |
| Quociente | $\ln\frac{a}{b} = \ln a - \ln b$ |
| Potência | $\ln(a^k) = k\ln a$ |
| Mudança de base | $\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$ |

Elas valem para $a, b > 0$. Não existe propriedade para $\ln(a + b)$.

## Derivada de ln x

$$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$

Esboço da demonstração: se $y = \ln x$, então $e^y = x$. Derivando implicitamente, obtemos $e^y y' = 1$, logo $y' = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Com a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}\ln g(x) = \frac{g'(x)}{g(x)}$$

## Integral de ln x

Usando [integração por partes](/blog/integration-by-parts) com $u = \ln x$, $dv = dx$, de modo que $du = \frac{1}{x}\,dx$ e $v = x$:

$$\int \ln x\,dx = x\ln x - \int x \cdot \frac{1}{x}\,dx = x\ln x - x + C$$

O caminho inverso é o mais comum: $\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: regra da cadeia.** $\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 1) = \frac{2x}{x^2 + 1}$.

**Exemplo 2: simplifique antes.** $\frac{d}{dx}\ln\frac{x^3}{x + 1} = \frac{d}{dx}\left[3\ln x - \ln(x + 1)\right] = \frac{3}{x} - \frac{1}{x + 1}$.

**Exemplo 3: regra do produto.** $\frac{d}{dx}(x^2\ln x) = 2x\ln x + x$.

**Exemplo 4: integral definida.** $\int_1^e \ln x\,dx = \left[x\ln x - x\right]_1^e = (e - e) - (0 - 1) = 1$.

**Exemplo 5: integral que resulta em logaritmo.** Com $u = x^2 + 4$, $\int \frac{2x}{x^2 + 4}\,dx = \ln(x^2 + 4) + C$. Não é preciso módulo, pois $x^2 + 4 > 0$.

## Erros comuns

1. **Separar o logaritmo de uma soma.** $\ln(x + 1) \ne \ln x + \ln 1$.
2. **Escrever $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{5x}$.** A regra da cadeia dá $\frac{5}{5x} = \frac{1}{x}$.
3. **Escrever $\int \ln x\,dx = \frac{1}{x} + C$.** Isso é a derivada, não a integral.
4. **Confundir $\ln x^2$ com $(\ln x)^2$.** O primeiro é $2\ln x$; o segundo é um quadrado.
5. **Calcular $\ln$ de $0$ ou de um número negativo.** Verifique o domínio, principalmente depois de uma substituição.

## Como se conecta

Aplicar $\ln$ aos dois lados transforma produtos e potências complicados em somas, a ideia por trás da [derivação logarítmica](/rules/logarithmic-differentiation). Logaritmos em outras bases são apenas logaritmos naturais multiplicados por uma constante; veja [funções logarítmicas](/functions/logarithmic-functions). Para praticar mais com exemplos resolvidos, leia o guia de [derivadas de funções exponenciais e logarítmicas](/blog/derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de ln x?

A derivada de $\ln x$ é $\frac{1}{x}$ para $x > 0$. De modo mais geral, $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{1}{x}$ para todo $x \ne 0$.

### Qual é a integral de ln x?

Use integração por partes com $u = \ln x$ e $dv = dx$: $\int \ln x\,dx = x\ln x - x + C$.

### Qual é a diferença entre ln e log?

$\ln x$ é o logaritmo na base $e \approx 2.718$. Na maioria dos livros de cálculo, $\log x$ indica a base $10$, embora alguns textos mais avançados também usem $\log$ para a base $e$.

### Qual é a derivada de ln(2x)?

Pela regra da cadeia, $\frac{d}{dx}\ln(2x) = \frac{2}{2x} = \frac{1}{x}$. De forma equivalente, $\ln(2x) = \ln 2 + \ln x$, e a constante $\ln 2$ tem derivada $0$.

### Por que não existe ln de um número negativo?

Porque $e^y$ é positivo para todo $y$ real, nenhuma potência real de $e$ é igual a um número negativo ou a zero. Por isso $\ln x$ só está definido para $x > 0$.