# Secante, cossecante e cotangente: gráficos, derivadas e integrais

> As funções trigonométricas recíprocas sec x, csc x e cot x: definições, gráficos, assíntotas, derivadas e integrais, com exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/funcoes/secante-cossecante-cotangente
Atualizado: 2026-11-03

$$ \sec x = \frac{1}{\cos x}, \quad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \quad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

## Visão geral

- **Domínio de sec x:** $x \ne \frac{\pi}{2} + k\pi$
- **Imagem de sec x:** $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$
- **Derivada:** $\sec x \tan x$
- **Integral:** $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$
- **Períodos:** $\sec$ e $\csc$: $2\pi$; $\cot$: $\pi$

## Pontos principais

- Secante, cossecante e cotangente são as recíprocas do cosseno, do seno e da tangente.
- Cada uma tem assíntotas verticais onde a função da qual ela é recíproca vale zero.
- Derivadas: $(\sec x)' = \sec x\tan x$, $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, $(\cot x)' = -\csc^2 x$.
- Integrais: $\int\sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$ e $\int\csc x\,dx = -\ln|\csc x + \cot x| + C$.

As **funções trigonométricas recíprocas** são a secante, a cossecante e a cotangente. Cada uma é um dividido por uma função trigonométrica básica: $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, $\csc x = \frac{1}{\sin x}$ e $\cot x = \frac{1}{\tan x}$. Elas aparecem o tempo todo em fórmulas de derivadas e integrais, então, mesmo que você raramente faça o gráfico delas, precisa conhecer seus resultados de cálculo.

## Definições

$$\sec x = \frac{1}{\cos x}, \qquad \csc x = \frac{1}{\sin x}, \qquad \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{1}{\tan x}$$

Um jeito rápido de lembrar os pares: cada função da esquerda tem exatamente um "co" entre ela e sua parceira. A secante anda com o **co**sseno, a **co**ssecante anda com o seno.

| Função | Recíproca de | Não definida em | Período | Imagem |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $\sec x$ | $\cos x$ | $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\csc x$ | $\sin x$ | $x = k\pi$ | $2\pi$ | $\lvert y\rvert \ge 1$ |
| $\cot x$ | $\tan x$ | $x = k\pi$ | $\pi$ | todos os reais |

## Gráficos da secante e da cossecante

```graph
title: 'Gráfico de y = sec x com y = cos x para comparação'
caption: 'Onde $\cos x = \pm 1$, $\sec x$ encosta nela. Onde $\cos x \to 0$, $\sec x$ dispara em direção a uma assíntota.'
x: [-4.6, 4.6]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: sec(x)
    label: y = sec x
  - expr: cos(x)
    label: y = cos x
    dashed: true
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
  - [3.1416, -1, '(π, −1)']
vertical:
  - {x: 1.5708, label: 'x = π/2'}
  - {x: -1.5708, label: 'x = −π/2'}
```

A secante nunca fica entre $-1$ e $1$: dividir $1$ por um número em $[-1, 1]$ sempre dá algo de valor absoluto pelo menos $1$. O gráfico da cossecante tem a mesma forma deslocada $\frac{\pi}{2}$ para a direita, com assíntotas nos múltiplos de $\pi$.

```graph
title: 'Gráfico de y = cot x com assíntotas em x = 0 e x = π'
caption: 'A cotangente cai de $\infty$ a $-\infty$ em cada intervalo $(k\pi, (k+1)\pi)$ e corta o zero em $x = \frac{\pi}{2}$.'
x: [-3, 6.2]
y: [-5, 5]
functions:
  - expr: cot(x)
    label: y = cot x
points:
  - [1.5708, 0, '(π/2, 0)']
vertical:
  - {x: 0, label: 'x = 0'}
  - {x: 3.1416, label: 'x = π'}
```

## Derivadas de sec, csc e cot

| Função | Derivada |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\sec x\tan x$ |
| $\csc x$ | $-\csc x\cot x$ |
| $\cot x$ | $-\csc^2 x$ |

**Por que $(\sec x)' = \sec x\tan x$.** Escreva $\sec x = (\cos x)^{-1}$ e use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule):

$$\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2}\cdot(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x} = \sec x\tan x$$

Os mesmos passos com $\sin x$ dão $(\csc x)' = -\csc x\cot x$, e a [regra do quociente](/rules/quotient-rule) aplicada a $\frac{\cos x}{\sin x}$ dá $(\cot x)' = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$.

## Integrais de sec, csc e cot

| Função | Integral |
| --- | --- |
| $\sec x$ | $\ln\lvert\sec x + \tan x\rvert + C$ |
| $\csc x$ | $-\ln\lvert\csc x + \cot x\rvert + C$ |
| $\cot x$ | $\ln\lvert\sin x\rvert + C$ |
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
| $\sec x\tan x$ | $\sec x + C$ |
| $\csc x\cot x$ | $-\csc x + C$ |

**A integral da secante.** Multiplique o numerador e o denominador por $\sec x + \tan x$:

$$\int \sec x\,dx = \int \frac{\sec^2 x + \sec x\tan x}{\sec x + \tan x}\,dx$$

O numerador é exatamente a derivada do denominador, então com $u = \sec x + \tan x$ a integral fica $\int\frac{du}{u} = \ln|\sec x + \tan x| + C$.

**A integral da cotangente.** Com $u = \sin x$, $\int\frac{\cos x}{\sin x}\,dx = \int\frac{du}{u} = \ln|\sin x| + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** Derive $f(x) = \sec(2x)$. Pela regra da cadeia, $f'(x) = 2\sec(2x)\tan(2x)$.

**Exemplo 2.** Derive $g(x) = x\cot x$. Pela [regra do produto](/rules/product-rule), $g'(x) = \cot x - x\csc^2 x$.

**Exemplo 3.** Calcule $\int_0^{\pi/3}\sec x\tan x\,dx$. A antiderivada é $\sec x$, então a resposta é $\sec\frac{\pi}{3} - \sec 0 = 2 - 1 = 1$.

**Exemplo 4.** Calcule $\int \csc^2(5x)\,dx$. Com $u = 5x$, o resultado é $-\frac{1}{5}\cot(5x) + C$.

## Erros comuns

1. **Confundir recíprocas com inversas.** $\sec x = \frac{1}{\cos x}$, mas $\cos^{-1}x$ indica o [arco-cosseno](/functions/arccosine).
2. **Associar a secante ao seno.** A secante é a recíproca do cosseno, e a cossecante é a recíproca do seno.
3. **Perder os sinais de menos.** As derivadas de $\csc x$ e de $\cot x$ são ambas negativas.
4. **Chutar que $\int\sec x\,dx = \sec x\tan x$.** Isso é a derivada, não a integral.

## Onde você vai usá-las

As identidades $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ e $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ são a base da [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution), em que $\sqrt{1 + x^2}$ vira $\sec\theta$. A secante também aparece como a derivada da [tangente](/functions/tangent-function), $(\tan x)' = \sec^2 x$. Para um resumo lado a lado das seis derivadas trigonométricas, veja [derivadas das funções trigonométricas](/blog/derivatives-of-trig-functions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a derivada de sec x?

A derivada de $\sec x$ é $\sec x\tan x$. Escreva $\sec x = (\cos x)^{-1}$ e use a regra da cadeia: $-(\cos x)^{-2}(-\sin x) = \frac{1}{\cos x}\cdot\frac{\sin x}{\cos x}$.

### Qual é a integral de sec x?

A integral é $\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x| + C$. O truque padrão é multiplicar por $\frac{\sec x + \tan x}{\sec x + \tan x}$; depois disso, o numerador é a derivada do denominador.

### Quais são as derivadas de csc x e cot x?

A derivada de $\csc x$ é $-\csc x\cot x$ e a derivada de $\cot x$ é $-\csc^2 x$. As duas têm sinal de menos, como toda derivada de uma função "co".

### sec x é a mesma coisa que a inversa de cos x?

Não. $\sec x = \frac{1}{\cos x}$ é uma recíproca. A função inversa do cosseno é $\arccos x$, às vezes escrita $\cos^{-1}x$, que é uma função diferente.