# Integral de 1/(1+x²): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de 1/(1+x²) é arctg x + C. Entenda o porquê com uma substituição por tangente, a versão 1/(a²+x²), um gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-1-mais-x2
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\arctan x + C$
- **Forma geral:** $\displaystyle\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$
- **Método:** Substituição $x = \tan\theta$, ou reconhecer a derivada da arctg
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{4}$
- **Na reta inteira:** $\pi$

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{1+x^2}$ é $\arctan x + C$, porque a derivada de $\arctan x$ é $\frac{1}{1+x^2}$.
- Para uma constante $a > 0$, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$. Não esqueça o $\frac{1}{a}$ na frente.
- Se houver um $x$ no numerador, como em $\frac{x}{1+x^2}$, a resposta é um logaritmo, e não uma arctg.
- Trinômios como $x^2 + 2x + 5$ viram integrais de arctg depois de completar o quadrado.

A **integral de $\dfrac{1}{1+x^2}$ é $\arctan x + C$**. É uma das poucas integrais que você deve reconhecer de imediato, porque transforma uma simples função racional num ângulo.

$$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

A versão mais geral, para qualquer constante $a > 0$, é

$$\int \frac{1}{a^2+x^2}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

## Gráfico de 1/(1+x²) e de sua primitiva

```graph
title: 'y = 1/(1+x²) com a área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'A área sombreada vale $\arctan 1 - \arctan 0 = \frac{\pi}{4} \approx 0.785$. A curva tracejada é a primitiva $\arctan x$, que se estabiliza em $\pm\frac{\pi}{2}$.'
x: [-5, 5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: 1/(1+x^2)
    label: y = 1/(1+x²)
  - expr: arctan(x)
    label: y = arctg x (primitiva)
    dashed: true
shade:
  expr: 1/(1+x^2)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

A curva $\frac{1}{1+x^2}$ é positiva em todo ponto, então sua primitiva é sempre crescente. Ela também achata rapidamente, e é por isso que $\arctan x$ se aproxima das retas horizontais $y = \pm\frac{\pi}{2}$.

## Como integrar 1/(1+x²) passo a passo

Você pode simplesmente reconhecer a [derivada de arctg x](/derivatives/arctan-x). Se quiser ver de onde vem a resposta, use a substituição $x = \tan\theta$.

1. Seja $x = \tan\theta$, então $dx = \sec^2\theta\,d\theta$.
2. Use a identidade $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$:
$$\int \frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta}\,d\theta = \int \frac{\sec^2\theta}{\sec^2\theta}\,d\theta = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
3. Volte para $x$. Como $x = \tan\theta$, temos $\theta = \arctan x$.

Para $\frac{1}{a^2+x^2}$, coloque $a^2$ em evidência e substitua $u = \frac{x}{a}$, $dx = a\,du$:

$$\int \frac{dx}{a^2\left(1 + \frac{x^2}{a^2}\right)} = \frac{1}{a^2}\int \frac{a\,du}{1+u^2} = \frac{1}{a}\arctan u + C = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a} + C$$

É a mesma ideia da [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution), na sua forma mais simples.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}\right) = \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{1 + \frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{a^2 + x^2}$$

Com $a = 1$ isso devolve $\frac{1}{1+x^2}$.

## Integrais definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^1 \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{4} \approx 0.785$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\frac{\pi}{3}$ |
| $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2}$ | $\pi$ |

A última é uma [integral imprópria](/blog/improper-integrals). Ela converge mesmo com o intervalo infinito, porque $\frac{1}{1+x^2}$ decai como $\frac{1}{x^2}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: uma constante diferente de 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{9 + x^2}$. Aqui $a = 3$:

$$\int \frac{dx}{9+x^2} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x}{3} + C$$

**Exemplo 2: um coeficiente em x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{1 + 4x^2}$. Seja $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2}\arctan(2x) + C$$

**Exemplo 3: complete o quadrado.** $\displaystyle\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$. Escreva $x^2 + 2x + 5 = (x+1)^2 + 4$ e use $a = 2$ com $u = x + 1$:

$$\int \frac{dx}{(x+1)^2 + 4} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x+1}{2} + C$$

**Exemplo 4: separe o numerador.** $\displaystyle\int \frac{x + 3}{x^2 + 1}\,dx$. Separe em duas integrais conhecidas:

$$\int \frac{x}{x^2+1}\,dx + 3\int \frac{dx}{x^2+1} = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + 3\arctan x + C$$

A primeira parte é tratada na página da [integral de x/(x²+1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Erros comuns

1. **Escrever $\ln(1 + x^2)$.** Essa é a primitiva de $\frac{2x}{1+x^2}$, e não de $\frac{1}{1+x^2}$. Sem um $x$ no numerador, não há $du$ para uma substituição logarítmica.
2. **Esquecer o $\frac{1}{a}$.** $\int \frac{dx}{4+x^2}$ é $\frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2}$, e não $\arctan\frac{x}{2}$. Derive a resposta para pegar esse erro.
3. **Confundir com $\frac{1}{1-x^2}$.** Um sinal de menos muda tudo. $\frac{1}{1-x^2}$ exige [frações parciais](/blog/partial-fractions) e dá logaritmos; veja a [integral de 1/(x²−1)](/integrals/1-over-x-squared-minus-1).
4. **Usar graus.** $\arctan 1 = \frac{\pi}{4}$, e não $45$. No cálculo usamos sempre radianos.

Para a própria função inversa, veja a página do [arco tangente](/functions/arctangent). Para integrar $\arctan x$ (em vez de obtê-la como resposta), veja a [integral de arctg x](/integrals/arctan-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/(1+x²)?

É $\arctan x + C$, também escrita $\tan^{-1} x + C$.

### Qual é a integral de 1/(a²+x²)?

É $\frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$ para $a > 0$. Por exemplo, $\int \frac{dx}{4+x^2} = \frac{1}{2}\arctan\frac{x}{2} + C$.

### Qual é a integral de x/(1+x²)?

É $\frac{1}{2}\ln(1+x^2) + C$. Faça $u = 1 + x^2$, então $du = 2x\,dx$. O $x$ extra no numerador troca a resposta de arctg para logaritmo.

### Qual é a integral de 1/(1+x²) de menos infinito a infinito?

É $\pi$. A primitiva $\arctan x$ vai de $-\frac{\pi}{2}$ a $\frac{\pi}{2}$, então a área total é $\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = \pi$.