# Integral de 1/√(1−x²): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de 1/√(1−x²) é arcsen x + C. Veja a substituição por seno, a versão 1/√(a²−x²), um gráfico, integrais definidas e exemplos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-raiz-1-menos-x2
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\arcsin x + C$
- **Forma geral:** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$
- **Válida para:** $-1 < x < 1$ (ou $\lvert x\rvert < a$)
- **Método:** Substituição $x = \sin\theta$
- **De 0 a 1:** $\dfrac{\pi}{2}$ (uma integral imprópria que converge)

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ é $\arcsin x + C$, válida para $-1 < x < 1$.
- Para $a > 0$, $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin\frac{x}{a} + C$. Ao contrário da fórmula da arctg, não há $\frac{1}{a}$ na frente.
- $-\arccos x + C$ também é uma resposta correta, porque $\arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2}$, uma constante.
- Se houver um $x$ no numerador, como em $\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$, use $u = 1 - x^2$ e obtenha $-\sqrt{1-x^2} + C$.

A **integral de $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ é $\arcsin x + C$**. Ela é o inverso da [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x) e vale no intervalo $-1 < x < 1$, onde a raiz quadrada é real e diferente de zero.

$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \arcsin x + C$$

Para qualquer constante $a > 0$:

$$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\,dx = \arcsin\frac{x}{a} + C$$

## Gráfico de 1/√(1−x²)

```graph
title: 'y = 1/√(1−x²) com a área de 0 a 1/2 sombreada'
caption: 'A área sombreada é $\arcsin\frac{1}{2} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6} \approx 0.524$. A curva dispara em $x = \pm 1$, mas a área total de $-1$ a $1$ ainda é finita: $\pi$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-0.5, 5]
functions:
  - expr: 1/sqrt(1-x^2)
    label: y = 1/√(1−x²)
    domain: [-0.98, 0.98]
shade:
  expr: 1/sqrt(1-x^2)
  from: 0
  to: 0.5
vertical:
  - x: -1
    label: x = −1
  - x: 1
    label: x = 1
points:
  - [0, 1, '(0, 1)']
```

## Como integrar 1/√(1−x²) passo a passo

A raiz de $1 - x^2$ lembra a identidade pitagórica $1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$, então substitua $x = \sin\theta$.

1. Seja $x = \sin\theta$ com $-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$. Então $dx = \cos\theta\,d\theta$.
2. Simplifique a raiz. Nesse intervalo $\cos\theta > 0$, então $\sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta$.
3. Integre:
$$\int \frac{\cos\theta\,d\theta}{\cos\theta} = \int 1\,d\theta = \theta + C$$
4. Volte para $x$: $\theta = \arcsin x$.

Para $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$, use $x = a\sin\theta$. Então $dx = a\cos\theta\,d\theta$ e $\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = a\cos\theta$. Os dois fatores $a$ se cancelam, e é por isso que a resposta não tem $\frac{1}{a}$ na frente. Esse é o primeiro caso de [substituição trigonométrica](/blog/trig-substitution).

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\arcsin\frac{x}{a} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}}\cdot\frac{1}{a} = \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}}$$

O passo usa $a\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} = \sqrt{a^2 - x^2}$, que vale porque $a > 0$.

## Integrais definidas

| Integral | Valor |
| --- | --- |
| $\int_0^{1/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{6}$ |
| $\int_0^{\sqrt{2}/2} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{4}$ |
| $\int_0^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\frac{\pi}{2}$ |
| $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\pi$ |

As duas últimas são [integrais impróprias](/blog/improper-integrals), já que o integrando é ilimitado em $x = \pm 1$. Mesmo assim convergem, porque a explosão é só da ordem de $\frac{1}{\sqrt{1-x}}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{9 - x^2}} = \arcsin\frac{x}{3} + C$, usando $a = 3$.

**Exemplo 2: um coeficiente em x².** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{1 - 4x^2}}$. Seja $u = 2x$, $du = 2\,dx$:

$$\frac{1}{2}\int \frac{du}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{2}\arcsin(2x) + C$$

**Exemplo 3: complete o quadrado.** $\displaystyle\int \frac{dx}{\sqrt{4x - x^2}}$. Escreva $4x - x^2 = 4 - (x - 2)^2$ e use $a = 2$ e $u = x - 2$:

$$\int \frac{dx}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} = \arcsin\frac{x-2}{2} + C$$

**Exemplo 4: uma integral definida.** $\displaystyle\int_0^{3} \frac{dx}{\sqrt{36 - x^2}} = \arcsin\frac{3}{6} - \arcsin 0 = \frac{\pi}{6}$.

## Erros comuns

1. **Acrescentar um $\frac{1}{a}$.** Ele pertence à fórmula da arctg, $\int \frac{dx}{a^2+x^2} = \frac{1}{a}\arctan\frac{x}{a}$. A fórmula do arcsen não tem. Compare com a [integral de 1/(1+x²)](/integrals/1-over-1-plus-x-squared).
2. **Partir para o arcsen quando há um $x$ no numerador.** $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ é uma [substituição](/rules/u-substitution-rule) simples, com resposta $-\sqrt{1-x^2} + C$.
3. **Confundir $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ com $\sqrt{1-x^2}$.** A raiz sozinha tem uma integral mais longa; veja a [integral de √(1−x²)](/integrals/sqrt-1-minus-x-squared).
4. **Usar a fórmula fora de $\lvert x\rvert < a$.** Para $\lvert x\rvert > a$ a raiz não é real. Integrais como $\int \frac{dx}{\sqrt{x^2-1}}$ dão $\ln\lvert x + \sqrt{x^2-1}\rvert$.

Para integrar a própria função arco seno, veja a [integral de arcsen x](/integrals/arcsin-x). A página do [arco seno](/functions/arcsine) trata de seu domínio e gráfico.

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/√(1−x²)?

É $\arcsin x + C$, também escrita $\sin^{-1} x + C$.

### Qual é a integral de 1/√(a²−x²)?

É $\arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C$ para $a > 0$. Por exemplo, $\int \frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} = \arcsin\frac{x}{2} + C$.

### A integral de 1/√(1−x²) é arcsen x ou −arccos x?

As duas estão corretas. Elas diferem pela constante $\frac{\pi}{2}$, e uma primitiva só é definida a menos de uma constante. A maioria dos livros escreve $\arcsin x$.

### Qual é a integral de x/√(1−x²)?

É $-\sqrt{1-x^2} + C$. Faça $u = 1 - x^2$, $du = -2x\,dx$, e a integral vira $-\frac{1}{2}\int u^{-1/2}\,du = -\sqrt{u} + C$.