# Integral de 1/x²: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de 1/x² é -1/x + C. Reescreva como x^(-2), confira derivando e veja integrais impróprias como de 1 ao infinito e a armadilha de -1 a 1.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-x-ao-quadrado
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $-\dfrac{1}{x} + C$
- **Reescreva antes:** $\dfrac{1}{x^2} = x^{-2}$
- **Válida para:** $x \ne 0$
- **Integral imprópria:** $\int_1^\infty \dfrac{1}{x^2}\,dx = 1$
- **Verificação:** $\dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{1}{x}\right) = \dfrac{1}{x^2}$

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{x^2}$ é $-\frac{1}{x} + C$. É uma potência, e não um logaritmo.
- Reescreva como $x^{-2}$, aumente o expoente para $-1$ e divida por $-1$.
- A integral imprópria $\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx$ converge para $1$.
- Não dá para integrar $\frac{1}{x^2}$ passando por $x = 0$. $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2}\,dx$ diverge.

A **integral de $\dfrac{1}{x^2}$ é $-\dfrac{1}{x} + C$**. Ao contrário de $\frac{1}{x}$, esta se resolve com a regra da potência inversa comum.

$$\int \frac{1}{x^2}\,dx = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$$

## Gráfico de 1/x² e a área sob ele

```graph
title: 'Área sob y = 1/x² de 1 a 3, com a primitiva y = -1/x'
caption: 'A área sombreada é $-\frac{1}{3} - (-1) = \frac{2}{3}$. A curva tracejada $y = -\frac{1}{x}$ sempre sobe, porque $\frac{1}{x^2}$ é sempre positivo.'
x: [-0.5, 5]
y: [-2.5, 3]
functions:
  - expr: 1/x^2
    label: y = 1/x²
    domain: [0.58, 5]
  - expr: -1/x
    label: y = -1/x (primitiva)
    dashed: true
    domain: [0.4, 5]
shade: {expr: 1/x^2, from: 1, to: 3}
points:
  - [1, 1, '(1, 1)']
  - [3, -0.333, '(3, -1/3)']
```

## Dedução, passo a passo

1. Reescreva como potência: $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$.
2. Aplique a [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule) com $n = -2$.
3. Some um ao expoente: $-2 + 1 = -1$.
4. Divida por $-1$: $\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.
5. Some $C$.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = \frac{1}{x^2} \checkmark$$

A regra no sentido direto está na página da [derivada de 1/x²](/derivatives/1-over-x-squared), e a página da [derivada de 1/x](/derivatives/1-over-x) mostra que $\frac{d}{dx}\frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$, que é o mesmo fato lido ao contrário.

## Integrais impróprias

A área sob $\frac{1}{x^2}$ até o infinito é finita:

$$\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b\to\infty}\left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b\to\infty}\left(1 - \frac{1}{b}\right) = 1$$

Compare com $\int_1^\infty \frac{1}{x}\,dx$, que diverge porque $\ln b \to \infty$. Esse contraste é o ponto de partida do critério $p$ para integrais e séries. A lição sobre [limites de integração infinitos](/learn/calculus-2/improper-integrals-and-applications/infinite-limits-of-integration) trata disso em detalhe.

Perto de zero a história se inverte: $\int_0^1 \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{a\to 0^+}\left(\frac{1}{a} - 1\right) = \infty$.

## A armadilha clássica: integrar passando pelo zero

Substituir na primitiva dá

$$\left[-\frac{1}{x}\right]_{-1}^{1} = -1 - 1 = -2$$

Mas $\frac{1}{x^2}$ é positivo em todo ponto, então sua integral não pode ser negativa. O erro é que $\frac{1}{x^2}$ tem uma assíntota vertical em $x = 0$, e assim o [Teorema Fundamental do Cálculo](/theorems/fundamental-theorem-of-calculus-part-2) não se aplica em $[-1, 1]$. Divida a integral em $0$: cada metade diverge, então a integral toda diverge.

## Variante por substituição

Com $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{(ax + b)^2}\,dx = -\frac{1}{a(ax + b)} + C$$

Por exemplo, $\int \frac{1}{(2x + 1)^2}\,dx = -\frac{1}{2(2x + 1)} + C$. Verificação: a derivada é $\frac{1}{2}(2x + 1)^{-2}\cdot 2 = \frac{1}{(2x + 1)^2}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int \frac{3}{x^2}\,dx = -\frac{3}{x} + C$.

**Exemplo 2.** $\int \frac{x + 1}{x^2}\,dx = \int\left(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)dx = \ln\lvert x\rvert - \frac{1}{x} + C$. Separe primeiro e depois use a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x) na primeira parte.

**Exemplo 3.** $\int_2^4 \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

**Exemplo 4.** $\int \frac{1}{x^3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$.

## Erros comuns

1. **Escrever $\ln(x^2)$.** O logaritmo só aparece para $\frac{1}{x}$.
2. **Escrever $-\frac{1}{x^3}$ ou $\frac{1}{x}$.** O expoente aumenta em um ($-2 \to -1$), e você divide por $-1$, o que troca o sinal.
3. **Integrar passando por uma assíntota.** Sempre verifique se há divisão por zero dentro do intervalo.
4. **Escrever $\frac{1}{3x^3}$** tratando $\frac{1}{x^2}$ como $(x^2)$ e integrando isso. Reescreva como $x^{-2}$ primeiro.

Pratique o caso infinito com os [exercícios de integrais impróprias](/practice-problems/improper-integrals).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/x²?

A integral de $\frac{1}{x^2}$ é $-\frac{1}{x} + C$.

### Qual é a integral de 1/x² de 1 ao infinito?

É $1$. A primitiva $-\frac{1}{x}$ vai de $-1$ em $x = 1$ até $0$ quando $x \to \infty$, uma variação de $1$.

### Por que a integral de 1/x² de -1 a 1 não é -2?

Substituir os limites dá $-1 - 1 = -2$, mas isso está errado. $\frac{1}{x^2}$ explode em $x = 0$, então o Teorema Fundamental não se aplica. Na verdade, a integral diverge para infinito.

### A integral de 1/x² é igual a ln(x²)?

Não. O $\ln$ só aparece para $\frac{1}{x}$. Para $\frac{1}{x^2}$ a regra da potência inversa funciona e dá $-\frac{1}{x} + C$.