# Integral de 1/(x ln x): fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de 1/(x ln x) é ln|ln x| + C. Veja a substituição u = ln x, por que a integral imprópria diverge, um gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-x-ln-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$
- **Método:** Substituição $u = \ln x$, $du = \frac{1}{x}\,dx$
- **Domínio:** $x > 0$, $x \ne 1$
- **De e a e²:** $\ln 2 \approx 0.693$
- **De 2 a ∞:** Diverge

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{x\ln x}$ é $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.
- Substitua $u = \ln x$. O $\frac{1}{x}$ do integrando é exatamente $du$, e a integral vira $\int\frac{du}{u}$.
- $\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x}$ diverge, mas muito devagar. Pelo teste da integral, $\sum\frac{1}{n\ln n}$ também diverge.
- Com um quadrado, $\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2} = \frac{1}{\ln 2}$ converge.

A **integral de $\dfrac{1}{x\ln x}$ é $\ln\lvert\ln x\rvert + C$**. É um exemplo clássico de substituição escondida à vista de todos: o $\frac{1}{x}$ é a derivada do $\ln x$ ao lado dele.

$$\int \frac{1}{x\ln x}\,dx = \ln\lvert\ln x\rvert + C$$

O integrando está definido para $x > 0$ com $x \ne 1$, já que $\ln 1 = 0$ zeraria o denominador.

## Gráfico de 1/(x ln x)

```graph
title: 'y = 1/(x ln x) com a área de e a e² sombreada'
caption: 'A área sombreada é $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$. A curva tem uma assíntota vertical em $x = 1$ e decai muito devagar para a direita.'
x: [0, 9]
y: [-1, 5]
functions:
  - expr: 1/(x*ln(x))
    label: y = 1/(x ln x)
    domain: [1.2, 9]
shade:
  expr: 1/(x*ln(x))
  from: 2.71828
  to: 7.38906
vertical:
  - x: 1
    label: x = 1
```

## Como integrar 1/(x ln x) passo a passo

1. **Identifique o par.** Reescreva o integrando como $\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}$. O segundo fator é a derivada de $\ln x$.
2. **Substitua.** Seja $u = \ln x$, então $du = \frac{1}{x}\,dx$:
$$\int\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \int\frac{1}{u}\,du$$
3. **Integre.** $\int\frac{du}{u} = \ln\lvert u\rvert + C$, pela [integral de 1/x](/integrals/1-over-x).
4. **Volte à variável original.** $\ln\lvert\ln x\rvert + C$.

O módulo faz diferença em $0 < x < 1$, onde $\ln x$ é negativo. Para $x > 1$ você pode tirá-lo e escrever $\ln(\ln x)$.

Essa é a [substituição (mudança de variável)](/rules/u-substitution-rule) em ação. Sempre que vir $\frac{1}{x}$ multiplicado por alguma função de $\ln x$, tente $u = \ln x$.

## Verificação por derivação

Use a [regra da cadeia](/rules/chain-rule) duas vezes:

$$\frac{d}{dx}\ln(\ln x) = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} = \frac{1}{x\ln x}$$

## Integrais definidas e impróprias

**De e a e²:** $\ln(\ln e^2) - \ln(\ln e) = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2$.

**De e a e^e:** $\ln(e) - \ln(1) = 1$. Cada passo da forma $[e^{a}, e^{ea}]$ acrescenta a mesma área, $1$.

**De 2 a ∞:** essa [integral imprópria](/blog/improper-integrals) diverge.

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x\ln x} = \lim_{b\to\infty}\Big(\ln(\ln b) - \ln(\ln 2)\Big) = \infty$$

O crescimento é angustiantemente lento. Mesmo em $b = 10^{100}$, $\ln(\ln b) \approx \ln 230.3 \approx 5.44$. Uma calculadora jamais convenceria você de que ela diverge, mas a primitiva prova isso.

**O teste da integral.** Como essa integral diverge, o [teste da integral](/learn/calculus-2/sequences-and-series/integral-test-and-p-series) diz que a série $\sum_{n=2}^\infty\frac{1}{n\ln n}$ também diverge, mesmo com termos que diminuem mais rápido que $\frac{1}{n}$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: logaritmo ao quadrado.** $\displaystyle\int_2^\infty\frac{dx}{x(\ln x)^2}$. Com $u = \ln x$, a primitiva é $-\frac{1}{\ln x}$:

$$\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{\ln b} + \frac{1}{\ln 2}\right) = \frac{1}{\ln 2} \approx 1.443$$

Esta converge. Uma potência a mais de $\ln x$ é suficiente.

**Exemplo 2: logaritmo no numerador.** $\displaystyle\int\frac{\ln x}{x}\,dx = \int u\,du = \frac{(\ln x)^2}{2} + C$.

**Exemplo 3: uma potência do logaritmo.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\sqrt{\ln x}} = \int u^{-1/2}\,du = 2\sqrt{\ln x} + C$, para $x > 1$.

**Exemplo 4: uma constante dentro.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln(5x)}$. Aqui $\frac{d}{dx}\ln(5x) = \frac{1}{x}$ também, então a resposta é $\ln\lvert\ln(5x)\rvert + C$.

**Exemplo 5: mais uma camada.** $\displaystyle\int\frac{dx}{x\ln x\,\ln(\ln x)} = \ln\lvert\ln(\ln x)\rvert + C$, usando $u = \ln(\ln x)$.

## Erros comuns

1. **Separar em $\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{\ln x}$ e integrar cada fator.** Não se integra um produto fator por fator. $\ln x\cdot\ln\lvert\ln x\rvert$ está errado.
2. **Usar integração por partes.** É possível, mas não leva a nada útil. A substituição resolve em uma linha.
3. **Escrever $\ln\lvert x\ln x\rvert$.** Essa é a primitiva de $\frac{\ln x + 1}{x\ln x}$, e não de $\frac{1}{x\ln x}$.
4. **Integrar passando por $x = 1$.** O integrando explode ali, então $\int_{1/2}^{2}\frac{dx}{x\ln x}$ não é uma integral comum.

A [integral de ln x](/integrals/ln-x) e a [integral de x ln x](/integrals/x-ln-x) tratam das outras integrais com logaritmo mais comuns. Para mais sobre esse tipo de substituição, veja o [guia de substituição](/blog/u-substitution) e os [exercícios de substituição](/practice-problems/u-substitution).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/(x ln x)?

É $\ln\lvert\ln x\rvert + C$. Para $x > 1$, onde $\ln x > 0$, isso é só $\ln(\ln x) + C$.

### A integral de 1/(x ln x) de 2 ao infinito converge?

Não. $\ln(\ln b) - \ln(\ln 2) \to \infty$ quando $b \to \infty$, então a integral diverge. Ela cresce lentíssimo: em $b = 10^{100}$ a primitiva vale só cerca de $5.4$.

### Qual é a integral de ln x / x?

É $\frac{(\ln x)^2}{2} + C$. A mesma substituição $u = \ln x$ a transforma em $\int u\,du$.

### Qual é a integral de 1/(x (ln x)²)?

É $-\frac{1}{\ln x} + C$. Com $u = \ln x$ ela vira $\int u^{-2}\,du = -u^{-1} + C$.