# Integral de 1/x: fórmula, dedução e exemplos

> A integral de 1/x é ln|x| + C. Veja por que a regra da potência falha aqui, de onde vem o módulo e como lidar com 1/(ax + b) e com f'/f.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\ln\lvert x\rvert + C$
- **Válida para:** $x \ne 0$
- **Forma linear:** $\int \dfrac{1}{ax + b}\,dx = \dfrac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$
- **Forma logarítmica:** $\int \dfrac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$
- **Área de 1 a e:** $1$

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{x}$ é $\ln\lvert x\rvert + C$, e não uma potência de $x$.
- A regra da potência inversa falha em $n = -1$ porque dividiria por zero.
- O módulo faz a fórmula funcionar também para $x$ negativo.
- De modo mais geral, $\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$.

A **integral de $\dfrac{1}{x}$ é $\ln\lvert x\rvert + C$**. É a única potência de $x$ que a regra da potência inversa não resolve, e o logaritmo natural preenche essa lacuna.

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert x\rvert + C, \qquad x \ne 0$$

## Gráfico de 1/x e de sua primitiva

```graph
title: 'Área sob y = 1/x de 1 a e, com a primitiva y = ln|x|'
caption: 'A área sombreada de $x = 1$ a $x = e$ é exatamente $1$. Essa é uma das maneiras de definir o número $e$. A curva tracejada $y = \ln\lvert x\rvert$ é a primitiva dos dois lados do $0$.'
x: [-4, 4]
y: [-3, 3]
functions:
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x
    domain: [0.25, 4]
  - expr: 1/x
    label: y = 1/x (x < 0)
    domain: [-4, -0.25]
  - expr: ln(abs(x))
    label: y = ln|x| (primitiva)
    dashed: true
    domain: [-4, 4]
shade: {expr: 1/x, from: 1, to: 2.71828}
points:
  - [2.71828, 1, '(e, 1)']
```

À direita, $\frac{1}{x} > 0$ e $\ln x$ cresce. À esquerda, $\frac{1}{x} < 0$ e $\ln\lvert x\rvert$ decresce quando você anda para a direita. As inclinações batem com as alturas nos dois casos.

## Por que a regra da potência falha

A [regra da potência inversa](/rules/reverse-power-rule) diz que $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Para $\frac{1}{x} = x^{-1}$ isso daria $\frac{x^0}{0}$, que não está definido. Nenhuma potência de $x$ tem derivada $x^{-1}$, porque a derivada de $x^0 = 1$ é $0$.

A função que tem derivada $\frac{1}{x}$ é o logaritmo natural. A página da [derivada de ln x](/derivatives/ln-x) prova que $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ para $x > 0$.

## De onde vem o módulo

Para $x < 0$, $\ln x$ não está definido, mas $\ln(-x)$ está. Derive-o com a regra da cadeia:

$$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x}\cdot(-1) = \frac{1}{x}$$

Então $\ln x$ funciona para $x > 0$ e $\ln(-x)$ funciona para $x < 0$. Juntos, eles formam $\ln\lvert x\rvert$.

## Verificação por derivação

Para $x > 0$: $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$. Para $x < 0$: $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}$. Os dois dão $\frac{1}{x}$, então $\frac{d}{dx}\ln\lvert x\rvert = \frac{1}{x}$ para todo $x \ne 0$.

## Variantes por substituição

Com $u = ax + b$:

$$\int \frac{1}{ax + b}\,dx = \frac{1}{a}\ln\lvert ax + b\rvert + C$$

De modo mais geral, sempre que o numerador for a derivada do denominador, a resposta é um logaritmo:

$$\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx = \ln\lvert f(x)\rvert + C$$

Esse único padrão dá a [integral de tg x](/integrals/tan-x), a [integral de cotg x](/integrals/cot-x) e a [integral de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1.** $\int \frac{5}{x}\,dx = 5\ln\lvert x\rvert + C$.

**Exemplo 2.** $\int \frac{1}{3x - 2}\,dx = \frac{1}{3}\ln\lvert 3x - 2\rvert + C$.

**Exemplo 3.** $\int \frac{2x + 3}{x^2 + 3x}\,dx = \ln\lvert x^2 + 3x\rvert + C$, já que o numerador é a derivada do denominador.

**Exemplo 4: definida, lado positivo.** $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 \approx 0.693$.

**Exemplo 5: definida, lado negativo.** $\int_{-3}^{-1} \frac{1}{x}\,dx = \ln\lvert -1\rvert - \ln\lvert -3\rvert = -\ln 3$. A resposta é negativa porque ali a curva fica abaixo do eixo.

## Erros comuns

1. **Usar a regra da potência.** $\frac{x^0}{0}$ não tem sentido. Use $\ln\lvert x\rvert$.
2. **Esquecer o módulo** quando $x$ pode ser negativo.
3. **Integrar passando pelo $0$.** $\int_{-1}^{1}\frac{1}{x}\,dx$ não é $\ln 1 - \ln 1 = 0$. A integral diverge.
4. **Confundir com $\frac{1}{x^2}$.** $\int \frac{1}{x^2}\,dx = -\frac{1}{x} + C$, e não um logaritmo. Veja a [integral de 1/x²](/integrals/1-over-x-squared).
5. **Esquecer o $\frac{1}{a}$** em $\int \frac{1}{ax + b}\,dx$.

Para uma integral com logaritmo no sentido oposto, veja a [integral de ln x](/integrals/ln-x).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/x?

A integral de $\frac{1}{x}$ é $\ln\lvert x\rvert + C$. Para $x > 0$ dá para tirar as barras e escrever $\ln x + C$.

### Por que há um módulo em ln|x|?

$\ln x$ só existe para $x > 0$, mas $\frac{1}{x}$ também existe para $x < 0$. Para $x$ negativo, a derivada de $\ln(-x)$ é $\frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$, então $\ln\lvert x\rvert$ cobre os dois lados.

### Qual é a integral de 1/(2x)?

É $\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + C$. Escrever $\frac{1}{2}\ln\lvert 2x\rvert + C$ também está certo, pois difere apenas pela constante $\frac{1}{2}\ln 2$.

### Qual é a integral de 1/x de -1 a 1?

Ela não existe. $\frac{1}{x}$ tem uma descontinuidade infinita em $0$, e as duas metades da integral imprópria divergem.