# Integral de 1/(x² - 1): fórmula, frações parciais e exemplos

> A integral de 1/(x² - 1) é ½ ln|(x - 1)/(x + 1)| + C. Veja as frações parciais passo a passo, a fórmula geral de 1/(x² - a²) e integrais definidas resolvidas.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-1-sobre-x2-menos-1
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$
- **Método:** Frações parciais
- **Decomposição:** $\dfrac{1}{x^2 - 1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}\right)$
- **Forma geral:** $\int\dfrac{dx}{x^2 - a^2} = \dfrac{1}{2a}\ln\left\lvert\dfrac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$
- **Não definida em:** $x = \pm 1$

## Pontos principais

- A integral de $\frac{1}{x^2 - 1}$ é $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.
- Fatore o denominador como $(x - 1)(x + 1)$ e separe em frações parciais.
- Um sinal de menos muda tudo: $\int\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \arctan x + C$, mas $\frac{1}{x^2 - 1}$ dá logaritmos.
- Nunca integre passando por $x = 1$ ou $x = -1$, onde a função tem assíntotas verticais.

A **integral de $\dfrac{1}{x^2 - 1}$ é $\dfrac{1}{2}\ln\left\lvert\dfrac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$**. É a integral mais simples que exige frações parciais.

$$\int \frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$$

## Gráfico de 1/(x² - 1)

```graph
title: 'Gráfico de y = 1/(x² - 1) com a área de x = 2 a x = 3 sombreada'
caption: 'A função tem assíntotas verticais em $x = -1$ e $x = 1$. A área sombreada é $\frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$.'
x: [-4, 4]
y: [-4, 4]
functions:
  - expr: 1/(x^2 - 1)
    label: y = 1/(x² - 1)
shade: {expr: 1/(x^2 - 1), from: 2, to: 3}
vertical:
  - {x: -1, label: 'x = -1'}
  - {x: 1, label: 'x = 1'}
```

Entre as assíntotas a função é negativa, com máximo $-1$ em $x = 0$. Fora delas é positiva e decresce em direção a $0$.

## Frações parciais, passo a passo

1. Fatore o denominador: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.
2. Monte a decomposição: $\dfrac{1}{(x - 1)(x + 1)} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 1}$.
3. Elimine os denominadores: $1 = A(x + 1) + B(x - 1)$.
4. Faça $x = 1$: $1 = 2A$, logo $A = \frac{1}{2}$. Faça $x = -1$: $1 = -2B$, logo $B = -\frac{1}{2}$.
5. Integre cada parte com a [integral de 1/x](/integrals/1-over-x):

$$\int\left(\frac{1/2}{x - 1} - \frac{1/2}{x + 1}\right)dx = \frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$$

6. Junte os logaritmos: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

O guia de [frações parciais](/blog/partial-fractions) também trata de fatores repetidos e quadráticos.

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert\right] = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1}\right) = \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{x^2 - 1} = \frac{1}{x^2 - 1} \checkmark$$

## A fórmula geral: 1/(x² - a²)

Os mesmos passos com $(x - a)(x + a)$ dão $A = \frac{1}{2a}$ e $B = -\frac{1}{2a}$, então

$$\int\frac{1}{x^2 - a^2}\,dx = \frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$$

Por exemplo, $\int\frac{1}{x^2 - 9}\,dx = \frac{1}{6}\ln\left\lvert\frac{x - 3}{x + 3}\right\rvert + C$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: integral definida.** Para a região sombreada:

$$\int_2^3\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{2}{4} - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln\frac{3}{2} \approx 0.203$$

**Exemplo 2: integral imprópria.** Quando $x \to \infty$, $\frac{x - 1}{x + 1} \to 1$ e o logaritmo tende a $0$:

$$\int_2^\infty\frac{dx}{x^2 - 1} = 0 - \frac{1}{2}\ln\frac{1}{3} = \frac{1}{2}\ln 3 \approx 0.549$$

**Exemplo 3: entre as assíntotas.** $\int_0^{1/2}\frac{dx}{x^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\frac{1/2}{3/2} - 0 = -\frac{1}{2}\ln 3$. Negativa, como o gráfico prevê.

**Exemplo 4: o sinal invertido.** $\int\frac{1}{1 - x^2}\,dx = -\int\frac{1}{x^2 - 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$.

**Exemplo 5: uma substituição antes.** $\int\frac{\cos x}{\sin^2 x - 1}\,dx$ com $u = \sin x$ vira $\int\frac{du}{u^2 - 1} = \frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{\sin x - 1}{\sin x + 1}\right\rvert + C$.

## Erros comuns

1. **Responder $\arctan x$.** Isso vale para $x^2 + 1$. Confira o sinal no denominador.
2. **Responder $\ln\lvert x^2 - 1\rvert$.** O numerador é $1$, e não $2x$, então o padrão $\frac{f'}{f}$ não se aplica. Esse padrão dá a [integral de x/(x² + 1)](/integrals/x-over-x-squared-plus-1).
3. **Errar o sinal de $B$.** Substitua valores de volta para conferir a decomposição.
4. **Integrar passando por $x = \pm 1$.** Essas integrais são impróprias e divergem.

Pratique com os [exercícios de frações parciais](/practice-problems/partial-fractions).

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de 1/(x² - 1)?

É $\frac{1}{2}\ln\lvert x - 1\rvert - \frac{1}{2}\ln\lvert x + 1\rvert + C$, que se junta em $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{x - 1}{x + 1}\right\rvert + C$.

### Qual é a integral de 1/(1 - x²)?

É o oposto da anterior: $\frac{1}{2}\ln\left\lvert\frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C$. Para $\lvert x\rvert < 1$ isso é igual a $\operatorname{artanh} x + C$.

### Qual é a integral de 1/(x² - a²)?

É $\frac{1}{2a}\ln\left\lvert\frac{x - a}{x + a}\right\rvert + C$, obtida com as mesmas frações parciais.

### Por que não dá arctg?

$\arctan x$ vem de $\frac{1}{x^2 + 1}$, cujo denominador nunca se fatora nos reais. Já $x^2 - 1$ se fatora, então entram as frações parciais e os logaritmos.