# Integral de arcsen x: fórmula, passo a passo e exemplos

> A integral de arcsen x é x arcsen x + √(1−x²) + C. Aprenda a integração por partes passo a passo, a versão com arccos, um gráfico e exemplos resolvidos.

Fonte: https://practicecalculus.com/pt/integrais/integral-de-arcsen-x
Atualizado: 2026-11-06

$$ \int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C $$

## Visão geral

- **Primitiva:** $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$
- **Domínio:** $-1 \le x \le 1$
- **Método:** Integração por partes com $u = \arcsin x$, $dv = dx$
- **Versão com arccos:** $\int \arccos x\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$
- **De 0 a 1:** $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$

## Pontos principais

- A integral de $\arcsin x$ é $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$.
- Use integração por partes com $u = \arcsin x$ e $dv = dx$, e depois uma substituição em $u$ para $\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$.
- A integral de $\arccos x$ tem a mesma forma, com um sinal de menos: $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$.
- O valor $\int_0^1 \arcsin x\,dx = \frac{\pi}{2} - 1$ também pode ser obtido pelo gráfico, subtraindo áreas.

A **integral de $\arcsin x$ é $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$**. Assim como $\ln x$ e $\arctan x$, ela não tem uma regra inversa direta, então você a integra por partes usando um fator 1.

$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Gráfico de arcsen x com a área de 0 a 1

```graph
title: 'y = arcsen x com a área de 0 a 1 sombreada'
caption: 'A área sombreada é $\frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$. É o retângulo de $1 \times \frac{\pi}{2}$ menos a área entre a curva e o eixo $y$, que vale $\int_0^{\pi/2}\sin y\,dy = 1$.'
x: [-1.5, 1.5]
y: [-2, 2]
functions:
  - expr: arcsin(x)
    label: y = arcsen x
    domain: [-1, 1]
shade:
  expr: arcsin(x)
  from: 0
  to: 1
points:
  - [1, 1.5708, '(1, π/2)']
  - [-1, -1.5708, '(−1, −π/2)']
```

## Como integrar arcsen x passo a passo

Use a [integração por partes](/rules/integration-by-parts-rule), $\int u\,dv = uv - \int v\,du$.

1. **Escolha as partes.** $u = \arcsin x$ e $dv = dx$, então $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ e $v = x$.
2. **Aplique a fórmula.**
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x - \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$$
3. **Resolva a integral que sobrou** com $w = 1 - x^2$, $dw = -2x\,dx$:
$$\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\sqrt{w} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$$
4. **Junte.** Subtrair um negativo dá um positivo:
$$\int \arcsin x\,dx = x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$$

## Verificação por derivação

$$\frac{d}{dx}\left(x\arcsin x + \sqrt{1-x^2}\right) = \arcsin x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$$

As duas frações se cancelam, e sobra só $\arcsin x$. Isso usa a [derivada de arcsen x](/derivatives/arcsin-x), $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

## Integrais definidas

**De 0 a 1:**

$$\int_0^1\arcsin x\,dx = \left(1\cdot\frac{\pi}{2} + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.571$$

O gráfico dá a mesma resposta sem nenhuma primitiva. A região sob $y = \arcsin x$ mais a região à sua esquerda (entre a curva e o eixo $y$) preenchem um retângulo de área $\frac{\pi}{2}$. A região da esquerda é a área sob $x = \sin y$ para $0 \le y \le \frac{\pi}{2}$, que vale $1$.

**De 0 a 1/2:**

$$\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{6} + \sqrt{\frac{3}{4}} - 1 = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \approx 0.128$$

**De −1 a 1:** $\arcsin x$ é ímpar, então a integral é $0$.

## Exemplos resolvidos

**Exemplo 1: arccos x.** Mesma montagem por partes, mas $du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$:

$$\int\arccos x\,dx = x\arccos x + \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$$

Como verificação, somar os resultados do arcsen e do arccos dá $x\left(\arcsin x + \arccos x\right) = \frac{\pi}{2}x$, que é a integral da constante $\frac{\pi}{2}$.

**Exemplo 2: uma entrada multiplicada.** $\int\arcsin\frac{x}{2}\,dx$. Seja $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$:

$$2\left(u\arcsin u + \sqrt{1-u^2}\right) + C = x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4 - x^2} + C$$

Aqui $2\sqrt{1 - \frac{x^2}{4}} = \sqrt{4 - x^2}$.

**Exemplo 3: substituição antes de tudo.** $\int \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ não é um problema de partes. Com $u = \arcsin x$, $du = \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$, então a resposta é $\frac{1}{2}(\arcsin x)^2 + C$.

## Erros comuns

1. **Um erro de sinal na integral que sobra.** $\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx$ é $-\sqrt{1-x^2}$, então a resposta final tem $+\sqrt{1-x^2}$. Derivar pega esse erro na hora.
2. **Ler $\sin^{-1}x$ como $\frac{1}{\sin x}$.** O inverso multiplicativo é $\csc x$, outra função; veja a [integral de cossec x](/integrals/csc-x).
3. **Usar partes quando há uma substituição à vista.** Se $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ já está ao lado de $\arcsin x$, substitua.
4. **Ignorar o domínio.** $\arcsin x$ só existe para $-1 \le x \le 1$, então uma integral definida tem de ficar dentro desse intervalo.

Para obter o arcsen como resposta, veja a [integral de 1/√(1−x²)](/integrals/1-over-sqrt-1-minus-x-squared). A página do [arco seno](/functions/arcsine) traz mais sobre a função em si, e a [integral de arctg x](/integrals/arctan-x) usa o mesmo método.

## Perguntas frequentes

### Qual é a integral de arcsen x?

É $x\arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C$, para $-1 \le x \le 1$.

### Qual é a integral de sen⁻¹ x?

$\sin^{-1}x$ é outro nome para $\arcsin x$, então a integral é $x\sin^{-1}x + \sqrt{1-x^2} + C$. Não é $\int \csc x\,dx$.

### Qual é a integral de arccos x?

É $x\arccos x - \sqrt{1-x^2} + C$. Os passos são os mesmos do arcsen, mas $\frac{d}{dx}\arccos x = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ troca o sinal do termo com raiz.

### Qual é a integral de arcsen(x/2)?

É $x\arcsin\frac{x}{2} + \sqrt{4-x^2} + C$. Substitua $u = \frac{x}{2}$, $dx = 2\,du$, e use a fórmula básica.